高三数学（理）一轮复习教案 第十三编 推理与证明 总第 68 期 §13.3 数学归纳法基础自测1.用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”在验证 n=1 时，左端计算所得的项为 .答案 1+a+a22.如果命题 P（n）对 n=k 成立，则它对 n=k+1 也成立，现已知 P（n）对 n=4 不成立，则下列结论正确的是 （填序号）.①P（n）对 n∈N*成立；② P(n)对 n＞4 且 n∈N*成立③P（n）对 n＜4 且 n∈N*成立；④ P（n）对 n≤4 且 n∈N*不成立答案 ④3.用数学归纳法证明 1+2+3+…+n2=，则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上 .答案 （k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）24.已知 f(n)=+ ++…+，则下列说法有误的是 .①f(n)中共有 n 项，当 n=2 时，f(2)=+；② f(n)中共有 n+1 项，当 n=2 时，f(2)= ++③f(n)中共有 n2-n 项，当 n=2 时，f(2)=+；④ f(n)中共有 n2-n+1 项，当 n=2 时，f(2)= ++答案 ①②③5.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时，xn+yn 能被 x+y 整除”，在第二步时， .答案 假设 n=k(k 是正奇数)，证明 n=k+2 命题成立例题精讲 例 1 用数学归纳法证明: n∈N*时,++…+=.证明 （1）当 n=1 时,左边==,右边==,左边=右边,所以等式成立.（2）假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即有++…+=,则当 n=k+1 时, ++…++用心 爱心 专心432=+====,所以当 n=k+1 时,等式也成立.由（1）（2）可知,对一切 n∈N*等式都成立.例 2 试证：当 n 为正整数时，f(n)=32n+2-8n-9 能被 64 整除.证明 方法一 （1）当 n=1 时，f(1)=34-8-9=64,命题显然成立.（2）假设当 n=k (k≥1,k∈N*)时， f(k)=32k+2-8k-9 能被 64 整除.由于 32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1)即 f(k+1)=9f(k)+64(k+1)∴n=k+1 时命题也成立.根据（1）（2）可知，对任意的 n∈N*，命题都成立.方法二 （1）当 n=1 时，f(1)=34-8-9=64，命题显然成立.（2）假设当 n=k (k≥1,k∈N*)时，f(k)=32k+2-8k-9 能被 64 整除.由归纳假设，设 32k+2-8k-9=64m(m 为大于 1 的自然数)，将 32k+2=64m+8k+9 代入到 f(k+1)中得f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1),∴n=k+1 时命题成立.根据（1）（2）可知，对任意的 n∈N*,命题都成立.例 3 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数，不等式（1+）（1+）…（1+）＞均成立.证明 （1）当 n=2...
