7.4.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题必备知识精要梳理圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值;(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得;(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.3.解决存在性问题的注意事项存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论;(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法.关键能力学案突破热点一圆锥曲线中的定点问题【例 1】(2020 全国Ⅰ,理 20)已知 A,B 分别为椭圆 E: x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点,G 为 E 的上顶点,⃗AG ·⃗GB=8.P 为直线 x=6 上的动点,PA 与 E 的另一交点为 C,PB 与 E 的另一交点为 D.(1)求 E 的方程;(2)证明:直线 CD 过定点.解题心得证明直线或曲线过定点,如果定点坐标没有给出,一般可根据已知条件表示出直线或曲线的方程,然后根据方程的形式确定其过哪个定点;如果得到的方程形如 f(x,y)+λg(x,y)=0,且方程对参数的任意值都成立,则令{f ( x , y )=0,g( x, y )=0,解方程组得定点.【对点训练 1】(2020 山东临沂二模,21)已知椭圆 C: x2a2 + y2b2=1(a>b>0)的离心率为❑√32,其左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 为坐标平面内的一点,且|⃗OP|=32 ,⃗PF1·⃗P F2=-34,O 为坐标原点.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设 M 为椭圆 C 的左顶点,A,B 是椭圆 C 上两个不同的点,直线 MA,MB 的倾斜角分别为α,β,且 α+β=π2.证明:直线 AB 恒过定点,并求出该定点的坐标.热点二圆锥曲线中的定值问题【例 2】(2020 山东泰安三模,21)已知椭圆 x2a2 + y2b2=1(a>b>0)的右顶点为 A,上顶点为 B,O 为坐标原点,点 O 到直线 AB 的距离为2❑√55,△OAB 的面积为 1.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线 l 与椭圆交于 C,D 两...
