专题 13：空间的平行与垂直问题班级 姓名 一、前测训练1．如图所示，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，若 D、E 是棱 CC1，AB 的中点，求证：DE∥平面 AB1C1．提示：法一：用线面平行的判定定理来证：“平行投影法”：取 AB1的中点 F，证四边形 C1DEF 是平行四边形．“中心投影法”延长 BD 与 B1C1交于 M，利用三角线中位线证 DE∥AM．法二：用面面平行的性质 取 BB1中点 G，证平面 DEG∥平面 AB1C1．2．已知底面为平行四边形的四棱锥 S－ABCD 中，P 为 SB 中点，Q 为 AD 上一点，若 PQ∥面 SDC，求 AQ：QD．答案：1：13．在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，(1)求证：平面 A1BD∥平面 B1D1C(2)若 E，F 分别是 A1A，C1C 的中点，求证：平面 EB1D1∥平面 BDF提示：(1)用面面平行的判定定理证： 证明 BD∥B1D1，A1B∥D1C． (2)证明 BD∥B1D1，BF∥D1E．A1D1ABCDB1C1E·F·DSABCPQ1ABCA1B1C1DED4．在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，M 为棱 CC1的中点，AC 交 BD 于 O，求证：A1O⊥平面 MBD 提示：用线面垂直的判定定理： 证 BD⊥平面 AA1C1C，从而得出 BD⊥A1O； 在矩形 AA1C1C 中，用平几知识证明 A1O⊥OM； 5．在正三棱柱 ABC－A1B1C1中，所有棱长均相等，D 为 BB1的中点，求证：A1B⊥CD．提示：取 AB 的中点 E，连 CE，证 A1B⊥平面 CDE．6．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，四边形 ABCD 是菱形，PB＝PD，且 E，F 分别是 BC， CD 的中点．求证：平面 PEF⊥平面 PAC．提示：设 EF 与 AC 交于点 O，证 EF⊥AC，EF⊥OP， 从而得出 EF⊥平面 PAC．A1D1ABCDB1C1M·OA1BCC1B1DABCDAPEF7．如图，已知 VB⊥平面 ABC，侧面 VAB⊥侧面 VAC，求证：△VAC 是直角三角形．提示：过 B 作 BD⊥VA，垂足为 D， 由侧面 VAB⊥侧面 VAC，得出 BD⊥侧面 VAC，从面 BD⊥AC， 由 VB⊥平面 ABC，得 AC⊥VB，从而 AC⊥平面 VAB． 所以 AC⊥VA．二、方法联想1．证明线面平行方法 1 构造三角形(中心投影法)，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①在直线和平面外寻找一点 P；②连接 PA 交平面 α 于点 M；③连接 PA 交平面 α 于点 N，④连接 MN 即为要找的平行线．方法 2：构造平行四边形(平行投影法) ，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①选择直线上两点 A、B 构造两平行直线和平面 α 相交于 M、N；②连接 MN 即为...
