等差和等比数列的综合运用一、课前学习1．若互不相等的实数成等差数列，依次成等比数列，则。2．等比数列的前 n 项和为，已知成等差数列，则公比。 3．设，则。4． 数列是公差不为 0 的等差数列，且是等比数列的前三项，若，则。5． 已 知 等 差 数 列的 公 差， 且成 等 比 数 列 ， 则 。6．若方程的四个根成等差数列，则的值为 .二、合作学习例 1．已知数列的前项和为且满足．(Ⅰ)判断是否是等差数列，并说明理由；(Ⅱ)求数列的通项；(Ⅲ)若，求的最大值及取得最大值时的值．例 2．将个数排成行列的一个数阵：已知 a11＝2，a13＝a61＋1．该数阵第一列的 n 个数从上到下构成以 m 为公差的等差数列，每一行的 n 个数从左到右构成以 m 为公比的等比数列，其中 m 为正实数．（Ⅰ）求第 i 行第 j 列的数 aij；（Ⅱ）求这 n2个数的和．例 3．已知数列为各项都是正数的等差数列，公差为，在之间和之间共插入个实数后，所得到的个数所组成的数列是等比数列，其公比为.（Ⅰ）若,求公差；（Ⅱ）求证：是无理数．三、学习检测1．已知等差数列，等比数列，且，数列的前三项分别是3，12，23，则的公差与的公比之和为 。2．已知数列是首项，公比的等比数列，设且，。 （1）求的通项公式；（2）设的前 n 项和为，当最大时，求 n 的值。3．设数列的前项和为，为等比数列，且。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和。4．已知等差数列的公差，，且前 n 项和为。（1）当时，在数列中找一项，使得成等比数列，则；（2）当时 ， 若 自 然 数满 足且是等比数列，则。5．已知数列是各项均为正数的等比数列，设 。（1）数列是否为等比数列？证明你的结论；（2）设数列的前项和分别为，若，求数列的前项和。6 ． 已 知是 等 比 数 列 ，，是 等 差 数 列 ，， 。 （1）求数列的前项和； （2）求数列的通项公式；（3）设，，试比较的大小。 7．已知正项数列的前 n 项和为，是与的等比中项。（1）求证：数列是等差数列；（2）若，数列的前 n 项和为，求；（3）在（2）的条件下，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求出；若不存在，说明理由。四、学习小结
