江苏省响水中学 2013-2014 学年高二上学期数学《第 25 课时 平面向量的数量积》学案【基础训练】1．（1）已知，，a与的夹角为，则= .（2）已知，，则= .2．已知，是两个非零向量：（1）若，则a与的夹角的大小为 .（2）若，则a与的夹角的大小为 .（3）若，则a与的夹角的大小为 .3．向量满足，且，若 则 .4．已知向量，满足a与的夹角为，则 .5．已知，，，，则当 时，；当 时，.【重点讲解】1．夹角2．平面向量的数量积（1）平面向量的数量积的定义（2）一向量在另一向量上的投影 ① 定义②的几何意义：3.向量的数 量积的性质 设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 （1）= ； （2）= ； （3）当和同向时，= ，当和反向时，= . 特别地：或；（4） ；（5）= 是与的夹角）.4.向量数量积的运算律5.平面向量数量积的坐标表示 （1）= . （2）= ，= . （3） .（4）若与的夹角为，则= .（5）若的起点坐标和终点坐标分别为则= .1【典题拓展】例 1．已知向量，，（1）若，求的值； （2）求的最大值。变式：在中，，则的最小值是 .例 2．已知， 是两个非零向量，与垂直，与垂直，求a与的夹角的大小.变式：的夹角为，，，记，.（1）若，求实数 的值；（2）是否存在实数 使，若存在，求出实数 的值，若不存在，请说明理由。例 3．已知向量满足，，求证：是正三角形. 变式：平面内有四点，记，若0abc，且，试判断的形状，并求其面积。2例 4．中，，是的中点（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若是线段上任意一点，且，求的最小值；【巩固迁移】1.在边长为 1 的等边三角形中，设，则 .2.已知， ，若的夹角是锐角，则 k 的取值范围 3.向量a与不共线，，且，则向量a与的夹角大小为 .4.在直角三角形 ABC 中，,则实数 k 的值 .5.已知为平面上一定点，是平面上不共线的三点，若，则的形状是 .6.如图，在中，已知为线段上的一点，。（1）若，求的值；（2）若，，，且与的夹角为，求3OBPA的值。4
