第 34 课时 二次函数在闭区间上的最值【学习目标】1．理解二次函数在闭区间上的最大、最小值的各种典型问题；2．通过二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨，领悟分类讨论、数形结合的思想．【课前导学】本堂课主要研究二次函数在闭区间上的最大、最小值问题．【课堂活动】一、建构数学：设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：即图象最大、最小值对于开口向下的情况，讨论类似．其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若，则，；（2）若，则，另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小．二、应用数学：例 1 函数在上有最大值 5 和最小值 2，求的值．【分析】注意开口方向的讨论．解：对称轴，故函数在区间上单调．（1）当时，函数在区间上是增函数，故 ；（2）当时，函数在区间上是减函数，故 ．【解后反思】处理二次函数最值问题首先要关注开口方向的讨论．例 2 求函数的最小值．【分析】动轴定区间，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得在上的最大值或最小值．解：对称轴（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，．【变式】1、本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当时，； （2）当时，． 2、本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？ 解：（1）当时，，；（2）当时， ，；（3）当时，，；（4）当时， ，． 【解后反思】当二次函数开口向上时，（1）求给定区间的最小值，按对称轴与区间的三种位置关系讨论；（2）求最大值时，按对称轴与区间中点的位置关系分类讨论；（3）既求最大又求最小时，分四种情况讨论．在讨论的过程中要注意结合函数的图像．例 3 求函数在区间上的最小值．【分析】定轴动区间也按对称轴与区间的位置关系讨论．解：对称轴，（1）当即时，；（2）当即时，；（3）当即时，．例 4 讨论函数的最小值．解：，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线，，当，，时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）因此，（1）当时，； （2）当时，； （3）当时，【解后反思】本题突出体现了数形结合与分类讨论思想的有机结合．三、理解数学：1．已知二次函数满足条件及（1）求；（2）求在区间上的最大值和最小值．解：（1）设，由，可知， ，故由得，，因而， 所以；（2）， ，所以当时，...
