第十二教时教材：反函数（1） 目的：要求学生掌握反函数的概念，会求一些简单函数的反函数。 过程：一、复习：映射、一一映射及函数的近代定义。二、反函数的引入及其定义：1．映射的例子：①这个映射所决定的函数是： y = 3x 1 ② 这个映射是有方向的：f:：A B ( f：x y = 3x 1)③ 如果把方向“倒过来”呢？（写成） f 1： A B ( f 1：y ) ④ 观察一下函数 y = 3x 1 与函数 的联系 我们发现：它们之间自变量与函数对调了；定义域与值域也对调了，后者的解析是前者解析中解出来的（x）。2．得出结论：函数 称作函数 y = 3x 1 的反函数。定义：P66 （略）注意：（再反复强调）：①用 y 表示 x , x = (y)② 满足函数的（近代）定义③ 自变量与函数对调④ 定义域与值域对调⑤ 写法：x = f 1(y) 考虑到“用 y 表示自变量 x 的函数”的习惯，将 x = f 1(y) 写成 y = f 1(x) 如上例 f 1：3．几个必须清楚的问题：1 如果 y = f (x) 有反函数 y = f 1(x)，那么 y = f 1(x) 的反函数是 y = f (x)，它们互为反函数。2 并不是所有的函数都有反函数。如 y = x2（可作映射说明） 因此，只有决定函数的映射是一一映射，这个函数才有反函数。3 两个函数互为反函数，必须：原函数的定义域是它的反函数的值域 原函数的值域是它的反函数的定义域 如：不是函数 y = 2 x ( x Z ) 的反函数。 4 指导阅读课本，包括“举例”“定义”“说明”“表格”以加深印象。三、求反函数：1．例题：（见 P66—67 例一）注意：1 强调：求反函数前先判断一下决定这个函数的映射是否是一一映射。2 求出反函数后习惯上必须将 x、y 对调，写成习惯形式。3 求出反函数后必须写出这个函数的定义域——原函数的值域。2．小结：求函数反函数的步骤： 1判析 2反解 3互换 4写出定义域3．补充例题： 1 求函数 （1≤ x < 0）的反函数。解：∵ 1≤ x < 0 ∴0 < x2 ≤ 1 ∴0≤1 x2 < 1 ∴ 0 ≤< 1 ∴0 < y ≤ 1由： 解得： (∵ 1≤ x < 0 ) ∴(1≤ x < 0)的反函数是：( 0 < x ≤1 )用心 爱心 专心 2 求函数 的反函数。解：①当 0≤ x ≤1 时， 1 ≤ x21 ≤ 0 即 0 ≤ y ≤ 1 由 y = x21 (0≤ x ≤1) 解得 (1≤ y ≤ 0) ∴ f 1(x) = (1≤ x ≤ 0)② 当 1≤ x < 0 时， 0 < x2 ≤ 1 即 0 < y ≤ 1 由 y = x2 (1≤ x < 0) 解得 (0 < y ≤ 1) ∴ f 1(x) = (0 < x ≤ 1)∴所求反函数为：四、小结：反函数的定义、求法、注意点。五、作业：课本 P66 练习 1 P66—69 习题 2.4 1、2《课课练》 P61“例题推荐”1、2 P62 7、8用心 爱心 专心
