江苏省江阴高级中学高中数学教案：05-平面向量 (23)

第二十七教时教材：复习六——解斜三角形目的：巩固对正弦、余弦的掌握，并能较熟练地应用解决具体问题。过程：一、 复习：1两个定理 2两个定理能解决的问题二、 例题：1．证明射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA证一：右边 == 左边证二：右边 = 2RsinBcosC + 2RsinCcosB=2Rsin(B+C)=2RsinA= a = 左边其余两式同2．已知：在△ABC 中，A=45，AB=，BC=2，解此三角形。解一： ∴当C = 60时, B = 75 ∴∴当C = 120时, B = 15 ∴ 解二：设 AC = b，由余弦定理：即： 解得：再由余弦定理： ∴C = 60或 120, B = 75或 153．在△ABC 中，若，判断△ABC 的形状。解一：由正弦定理：∴2A = 2B 或 2A = 180  2B 即：A= B 或 A + B = 90∴△ABC 为等腰或直角三角形解二： 由题设：化简：b2(a2 + c2  b2) = a2(b2 + c2  a2) ∴(a2 b2)(a2 + b2  c2)=0∴a = b 或 a2 + b2 = c2 ∴△ABC 为等腰或直角三角形4．如图：在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为15，向山顶前进 100m 后，又从点 B 测得斜度为 45，假设建筑物高 50m，求此山对于地平面的斜度。解：在△ABC 中，AB = 100m , CAB = 15, ACB = 4515 = 30由正弦定理： ∴BC = 200sin15在△DBC 中，CD = 50m , CBD = 45, CDB = 90 + 由正弦定理：cos = ∴ = 42.945．一块直径为 30cm 的圆形铁板，已经截去直径分别为 20cm，10cm 的圆形铁板各一块，现要求在所剩余的铁板中，再截出同样大小的铁板两块，问：这两块铁板的半径最大有多少 cm？解：设所求最大圆的半径为 x，则在△ABC 中：又在△ACD 中：∴6．某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在 A 处获悉后，立即测出该船的方位角为 45，与之相距 10 nmail 的 C 处，还测得该船正沿方位角 105的方向以每小时 9 nmail 的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时 21 nmail 的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间。解：设所需时间为 t 小时，在点 B 处相遇（如图）在△ABC 中，ACB = 120, 用心 爱心 专心 A D C B451550100 A D B C45105 A B CAC = 100, AB = 21t, BC = 9t由余弦定理：(21t)2 = 102 + (9t)2  2×10×9t×cos120整理得：36t2 9t  10 = 0 解得：（舍去）由正弦定理：∴CAB = 2147’7．在湖面上高 h 处，测得云彩仰角为，而湖中云彩影的俯角为，求云彩高。解：C、C’关于点 B 对称，设云高 CE = x，则 CD = x  h，C’D = x + h，在 Rt△ACD 中，在 Rt△AC’D 中，∴ 解得：三、 作业： 《导学•创新》 §5.9 §5.10用心 爱心 专心 A B C' E D C