江苏省赣榆县智贤中学 2014 高中数学 1.2 余弦定理（1）教案 苏教版必修 5学习目标1. 掌握余弦定理及其证明方法；2. 初步掌握余弦定理的应用；3. 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力．重点余弦定理及其应用难点用解析法证明余弦定理教学方法发现教学法教学课时2 教具教学流程活动记录复备栏 一、问题情境在上节中，我们通过等式的两边与（为中边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理．．探索 1 还有其他途径将向量等式数 量化吗？二、学生活动向量的平方是向量数量化的一种手段．因为（如图 1），所以 即 ，同理可得 ，． 1ABC图 1上述 等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．引出课题——余弦定理． 探索 2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．师生共同活动，探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下方法．方法一：如图 2 建立直角坐标系，则．所以． 同理可证：，．方法二：若是锐角，如图 3，由作，垂足为，则． ，类似地，可以证明当是钝角时，结论也成立，而当是直角时，2AC图 2ByxBCAD图 3结论显然成立．同理可证 ，．方法三：由正弦定理，得．所以 ．同理可证 ，．余弦定理也可以写成如下形式：，，．探索 3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．四、数学运用1．例题．例 1 在中，（1）已知，求 ；（2）已知求最大角的余弦值．解 （1）由余弦定理，得 ，所以 ．3（2） 因为，所以为最大角，由余弦定理，得．例 2 用余 弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，．证明：当为锐角时，，由余弦定理得即 ；同理可证，当为钝角时，．2．练习．（1）在中，已知，求．（2）若三条线段的长分别为 5，6，7，则用这三条线段（ ） A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形（3）在中，已知，试求的大小．练习答案：（1） （2） （3）五、要点归纳与方法小结教后反思 4
