高考数学一轮复习 规范答题强化练（三）高考大题——数列 文试题VIP免费

规范答题强化练（三）数列(45分钟48分)1.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式.(2)若T3=21,求S3.【解析】(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.①(2分)由a3+b3=5得2d+q2=6,②联立①和②解得(舍去),(4分)因此数列{bn}的通项公式bn=2n-1.(6分)(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.解得q=-5或q=4.(8分)当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.(10分)当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.(12分)2.(12分)数列是公差为d的等差数列,Sn为其前n项和,a1,a2,a5成等比数列.(1)证明S1,S3,S9成等比数列.(2)设a1=1,求a2+a4+a8+…+的值.【解析】(1)由题意有=a1·a5,(2分)即=a1·,解得d=2a1,(4分)又S1=a1,S3=3a1+3d=9a1,S9=9a1+36d=81a1,即=S1·S9,又因为S1,S3,S9均不为零,所以S1,S3,S9成等比数列.(6分)(2)a1=1,由(1)可知d=2,所以an=2n-1,所以=2·2n-1,(8分)原式=a2+++…+=(2·2-1)+(2·22-1)+(2·23-1)+…+(2·2n-1)=2(2+22+23+…+2n)-n=2n+2-n-4.(12分)3.(12分)已知Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和,S5=15,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若bn=求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列的公差为d,由题意,得(2分),解得或(4分)因为d≠0,所以所以{an}的通项公式为an=n.(6分)(2)由条件,得bn=(8分)当n≤6时,Tn=b1+b2+…+bn=1+2+…+n=.当n>6时,Tn=T6+(b7+b8+…+bn)=+=21+[++…+]=21+-=-.(10分)综上,Tn=(12分)4.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,S1=1,S2=4,且当n≥3时,Sn-1+是Sn与Sn-2的等差中项.数列{bn}为等比数列,且b2=,b3=.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式.(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.【解析】(1)因为当n≥3时,Sn-1+是Sn与Sn-2的等差中项,所以2=Sn+Sn-2,(2分)即Sn+Sn-2=2Sn-1+3,也就是(Sn-Sn-1)-(Sn-1-Sn-2)=3,即an-an-1=3(n≥3).而a1=S1=1,a2=S2-S1=3,显然a2-a1=2≠3,所以数列{an}从第2项起构成等差数列,公差d=3.故当n≥2时,an=a2+(n-2)d=3+(n-2)×3=3n-3.故an=(4分)等比数列{bn}中,b2==,b3==.故其公比q==.所以其通项bn=b2·qn-2=×=.(6分)(2)令cn=an·bn,由(1)知,cn=an·bn=(8分)当n=1时,T1=c1=.当n≥2时,Tn=c1+c2+c3+…+cn-1+cn=+++…++①,Tn=++…+++②,①-②,得Tn=++-=++-(10分)=1+-=-,所以Tn=-.显然,当n=1时,也成立.故Tn=-.(12分)