2.函数与导数1．求函数的定义域，关键是依据含自变量 x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同．[问题 1] 函数 f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是________________．答案 (－1,1)∪(1，＋∞)2．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[问题 2] 已知函数 f(x)＝的值域为 R，那么 a 的取值范围是____________．答案 解析 要使函数 f(x)的值域为 R，需使所以所以－1≤a<.3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数．(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数．(4)导数法：适合于可导函数．(5)换元法(特别注意新元的范围)．(6)分离常数法：适合于一次分式．[问题 3] 函数 y＝(x≥0)的值域为________．答案 解析 方法一 x≥0，∴2x≥1，∴≥1，解得≤y<1.∴其值域为 y∈.方法二 y＝1－， x≥0，∴0<≤，∴y∈.4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．[问题 4] f(x)＝是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)答案 奇解析 由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，f(x)＝＝.∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．5．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函数 f(x)的定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0.“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分又不必要条件．[问题 5] 设 f(x)＝lg 是奇函数，且在 x＝0 处有意义，则该函数在定义域上单调递________．答案 增解析 由题意可知 f(0)＝0，即 lg(2＋a)＝0，解得 a＝－1，故 f(x)＝lg ，函数 f(x)的定义域是(－1,1)，在此定义域内 f(x)＝lg ＝lg(1＋x)－lg(1－x)，函数 y1＝lg(1＋x)是增函数，函数 y2＝lg(1－x)是减函数，故 f(x)＝y1－y2是增函数．6．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的，一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数...
