4.数列、不等式1．等差数列及其性质(1)等差数列的判定：an＋1－an＝d(d 为常数)或 an＋1－an＝an－an－1 (n≥2)．(2)等差数列的性质① 当公差 d≠0 时，等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)·d＝dn＋a1－d 是关于 n 的一次函数，且斜率为公差 d；前 n 项和 Sn＝na1＋d＝n2＋n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0.② 若公差 d>0，则为递增等差数列；若公差 d<0，则为递减等差数列；若公差 d＝0，则为常数列．③ 当 m＋n＝p＋q 时，则有 am＋an＝ap＋aq，特别地，当 m＋n＝2p 时，则有 am＋an＝2ap.④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．⑤ 为等差数列．[问题 1] 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝12，S20＝17，则 S30为________．答案 152．等比数列及其性质(1)等比数列的判定：＝q(q 为常数，q≠0)或＝(n≥2)．(2)等比数列的性质① 当 m＋n＝p＋q 时，则有 am·an＝ap·aq，特别地，当 m＋n＝2p 时，则有 am·an＝a.②Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(Sk≠0)成等比数列．[问题 2] (1)在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比 q 是整数，则 a10＝________.(2)各项均为正数的等比数列{an}中，若 a5·a6＝9，则 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.答案 (1)512 (2)103．求数列通项的常见类型及方法(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式．(3)若已知数列的递推公式为 an＋1＝an＋f(n)，可采用累加法．(4)数列的递推公式为 an＋1＝an·f(n)，则采用累乘法．(5)已知 Sn与 an的关系，利用关系式 an＝ 求 an.(6)构造转化法：转化为等差或等比数列求通项公式．[问题 3] 已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数，对于任意的 x，y∈R，都有 f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足 an＝f(2n)(n∈N*)，且 a1＝2，则数列{an}的通项公式为 an＝________.答案 n·2n解析 令 x＝2，y＝2n－1，当 n≥2 时，f(xy)＝f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)，即 an＝2an－1＋2n，＝＋1，所以数列是首项为 1，公差为 1 的等差数列，由此可得＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝n·2n，当 n＝1 时，满足 a1＝2.4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；(2)分组求和法；(3)倒序相加法；(4)错位相减法；(5)裂项法如：＝－；＝.(6)并项法数列求和时要明...
