专题八 二项式定理与数学归纳法（理）[江苏卷 5 年考情分析]本部分内容在高考中基本年年都考，并以压轴题形式考查.2014 年考复合函数求导和数学归纳法；2015 年主要考查计数原理，又涉及到数学归纳法；2016 年考查组合数及其性质等基础知识，考查考生的运算求解能力和推理论证能力；2017 年考查概率分布与期望及组合数的性质，既考查运算能力，又考查思维能力.2018 年考查计数原理，考查考生的运算求解能力和推理论证能力．近几年高考对组合数的性质要求较高，常与数列、集合、不等式、数学归纳法等知识交汇考查． 第一讲 计数原理与二项式定理题型(一)计数原理的应用 主要考查两个计数原理在集合或数列中的应用. [典例感悟][例 1] (2018·江苏高考)设 n∈N*，对 1，2，…，n 的一个排列 i1i2…in，如果当 sit，则称(is，it)是排列 i1i2…in的一个逆序，排列 i1i2…in的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对 1,2,3 的一个排列 231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列 231的逆序数为 2.记 fn(k)为 1,2，…，n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数．(1)求 f3(2)，f4(2)的值；(2)求 fn(2)(n≥5)的表达式(用 n 表示)．[解] (1)记 τ(abc)为排列 abc 的逆序数，对 1,2,3 的所有排列，有τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3，所以 f3(0)＝1，f3(1)＝f3(2)＝2.对 1,2,3,4 的排列，利用已有的 1,2,3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此 f4(2)＝f3(2)＋f3(1)＋f3(0)＝5.(2)对一般的 n(n≥4)的情形，逆序数为 0 的排列只有一个：12…n，所以 fn(0)＝1.逆序数为 1 的排列只能是将排列 12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以 fn(1)＝n－1.为计算 fn＋1(2)，当 1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将 n＋1 添加进原排列，n＋1 在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此 fn＋1(2)＝fn(2)＋fn(1)＋fn(0)＝fn(2)＋n.当 n≥5 时，fn(2)＝[fn(2)－fn－1(2)]＋[fn－1(2)－fn－2(2)]＋…＋[f5(2)－f4(2)]＋f4(2)＝(n－1)＋(n－2)＋…＋4＋f4(2)＝，因此，当 n≥5 时，fn(2)＝.[方法技巧](1)深化对两个计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步”的意识，并在操作中确保：①分类不重不漏；②分步要使各步具有连续性和独立性. (2)解决计数应用题的基本思想是“化归”，即由...
