规范答题示例 5 数列的综合问题典例 5 (16 分)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝a，(an＋1)(an＋1＋1)＝6(Sn＋n)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若对任意的 n∈N*，都有 Sn≤n(3n＋1)，求实数 a 的取值范围；(3)当 a＝2 时，将数列{an}中的部分项按原来的顺序构成数列{bn}，且 b1＝a2，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{bn}．审题路线图 (1) →→(2)→→→(3)→→规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板(1)解 当 n＝1 时，(a1＋1)(a2＋1)＝6(S1＋1)，故 a2＝5；当 n≥2 时，(an－1＋1)(an＋1)＝6(Sn－1＋n－1)，所以(an＋1)(an＋1＋1)－(an－1＋1)(an＋1)＝6(Sn＋n)－6(Sn－1＋n－1)，即(an＋1)(an＋1－an－1)＝6(an＋1)．又 an＞0，所以 an＋1－an－1＝6，3 分所以 a2k－1＝a＋6(k－1)＝6k＋a－6，a2k＝5＋6(k－1)＝6k－1，k∈N*，故数列{an}的通项公式为 an＝5 分(2)解 当 n 为奇数时，n＋1 为偶数，所以 an＝3n＋a－3，an＋1＝3n＋2，所以(3n＋a－3＋1)(3n＋2＋1)＝6(Sn＋n)，整理得 Sn＝(3n＋a－2)(n＋1)－n.由 Sn≤n(3n＋1)，得 a≤对 n∈N*恒成立．令 f(n)＝(n∈N*)，则 f(n＋1)－f(n)＝＞0，所以 f(n)＝(n∈N*)单调递增，f(n)min＝f(1)＝＝4，所以 a≤4.8 分第一步找关系，求通项：根据已知条件确定数列的项之间的关系．第二步巧转化，定方法：根据要证式子或所求结论的结构，进行适当转化，如对数列求和，将数列函数化讨论数列的性质等确定解题方法．第三步写步骤，再反思：确定解题方案后要认真当 n 为偶数时，n＋1 为奇数，an＝3n－1，an＋1＝3n＋a，所以(3n－1＋1)(3n＋a＋1)＝6(Sn＋n)，整理得 Sn＝，由 Sn≤n(3n＋1)得，a≤3(n＋1)对 n∈N*恒成立，所以 a≤9.又 a1＝a＞0，所以实数 a 的取值范围是(0,4].10 分(3)解 当 a＝2 时，若 n 为奇数，则 an＝3n－1，所以 an＝3n－1(n∈N*)．因为数列{bn}的首项是 b1＝5，其整数倍的最小项是 a7＝20，故可令等比数列{bn}的公比 q＝4m(m∈N*)，因为 b1＝a2＝5，所以 bn＝5·4m(n－1)．设 k＝m(n－1)，因为 1＋4＋42＋…＋4k－1＝，所以 4k＝3(1＋4＋42＋…＋4k－1)＋1，所以 5·4k＝5[3(1＋4＋42＋…＋4k－1)＋1]＝3[5(1＋4＋42＋…＋4k－1)＋2]－1.14 分因为 5(1＋4＋42＋…＋4k－1)＋2 为正整数，所以数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列．又公比 q＝4m(m∈...
