第二讲 大题考法——直线与圆题型(一)直线与圆的位置关系 主要考查直线与圆的位置关系以及复杂背景下直线、圆的方程
[典例感悟][例 1] 如图，在 Rt△ABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为 x－3y－6＝0，点T(－1,1)在直线 AC 上，BC 中点为 M(2,0)．(1)求 BC 边所在直线的方程；(2)若动圆 P 过点 N(－2,0)，且与 Rt△ABC 的外接圆相交所得公共弦长为 4，求动圆 P 中半径最小的圆方程．[解] (1)因为 AB 边所在直线的方程为 x－3y－6＝0，AC 与 AB 垂直，所以直线 AC 的斜率为－3
故 AC 边所在直线的方程为 y－1＝－3(x＋1)，即 3x＋y＋2＝0
设 C 为(x0，－3x0－2)，因为 M 为 BC 中点，所以 B(4－x0,3x0＋2)．点 B 代入 x－3y－6＝0，解得 x0＝－，所以 C
所以 BC 所在直线方程为 x＋7y－2＝0
(2)因为 Rt△ABC 斜边中点为 M(2,0)，所以 M 为 Rt△ABC 外接圆的圆心．又 AM＝2，从而 Rt△ABC 外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8
设 P(a，b)，因为动圆 P 过点 N，所以该圆的半径 r＝，圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2
由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线 m 的方程为(4－2a)x－2by＋a2＋b2－r2＋4＝0
因为公共弦长为 4，⊙M 半径为 2，所以 M(2,0)到 m 的距离 d＝2，即＝2，化简得 b2＝3a2－4a，所以 r＝ ＝
当 a＝0 时，r 最小值为 2，此时 b＝0，圆的方程为 x2＋y2＝4
[方法技巧]解决有关直线与圆位置关系的问题的方法(1)直线与圆的方程求解通常用的待定系数法，由于直线方程和圆的方程均有不同形式，故要根据所给几何条件灵活使用方程．(2)对直线与直线
