第三讲 大题考法——椭圆题型(一)直线与椭圆的位置关系主要考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的方程、直线方程的求法
[典例感悟][例 1] 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3
(1)求椭圆的标准方程；(2)过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C，若 PC＝2AB，求直线 AB 的方程．[解] (1)由题意，得＝且 c＋＝3，解得 a＝，c＝1，则 b＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1
(2)当 AB⊥x 轴时，AB＝，又 CP＝3，不合题意．当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则 x1,2＝，C 的坐标为，且 AB＝＝＝
若 k＝0，则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意．从而 k≠0，故直线 PC 的方程为y＋＝－，则 P 点的坐标为，从而 PC＝
因为 PC＝2AB，所以＝，解得 k＝±1
此时直线 AB 的方程为 y＝x－1 或 y＝－x＋1
[方法技巧]解决直线与椭圆的位置关系问题的 2 个注意点(1)直线方程的求解只需要两个独立条件，但在椭圆背景下，几何条件转化为坐标的难度增加，涉及到长度、面积、向量等．(2)直线与椭圆的位置关系处理需要通过联立方程组来处理，联立方程组时要关注相关的点是否能够求解，不能求解的可以用根与系数的关系来处理．[演练冲关]1．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，两条准线之间的距离为 4
(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为 A，点 M 在圆 x2
