河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.2.1 基本不等式学案 新人教 A 版选修 4-5【学习目标】1.了解两个正数的算术平均数和几何平均数的定义；2.使学生理解并掌握基本不等式；3.利用基本不等式及其变形证明不等式或求最值.【重点难点】1.，2. 难点：均值不等式的应用，“等号”是否取到的问题. 【学习过程】一、问题情景导入：1.我们已经学过重要不等式，该不等式是怎么推导的？2.根据 1 中重要不等式推导的不等关系.并思考它们如何应用.二.自学探究：（阅读课本第 5-7 页，完成下面知识点的梳理）1.定理 1：如果，那么 ，当且仅当 时，等号成立.2.定理 2（基本不等式）如果，那么，当且仅当 时，等号成立.注：应用定理 2 的条件：一正、二定、三相等. 3.如果都是正数，我们就称 为的算术平均， 为的几何平均.于是，基本不等式可以表述为： .4.已知中一个为定值，其他两个的最值的求法.三、例题演练：题型一.利用基本不等式证明不等式：例 1．成立的必要条件是（ ）A.， B.C.， D.以上都不正确1变式：已知，且.求证：.题型二.利用基本不等式求函数最值：例 2.设，则函数的最大值是 .变式：已知，则的最小值为 .题型三.基本不等式的实际应用：例 3.某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用和分别为 2 万元和 8 万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多远处？变式：在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大？【课堂小结与反思】2【课后作业与练习】1.已知则下列不等式成立的是（ ） 2.设则，中最大的是 。3.若，则的最小值为 。4.求函数的最大值。5.下列命题中正确的是（ ）A.函数的最小值为 2，B.函数的最小值为 2，C.函数的最小值为，D. 函数的最大值为6 已知若，，则的大小顺序 。7.若，则的最大值为 。8.设求函数的最大值；39.当时，求函数的最大值。10.若则有（ ） A.最大值， B.最小值， C.最大值 1， D.最小值 1。11.若对任意恒成立，则 的取值范围是 。12.⑴ 求证，⑵ 设是不全相等的正数，求证：①，②.13.将一矩形花坛扩建成一个更大的 矩形花园，要求在上， 在上，且对角线过点，已知.⑴ 要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？⑵ 当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求最小面积？⑶ 若的长度不小于，则当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积.4
