湖南省邵阳市隆回二中选修 2-2 学案 导数及其应用：1．1．2 导数的几何意义导学案【学习目标】1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义 ，理解导函数的概念，并会用导数的几 何意义与概念解题。【自主学习】（认真自学课本 P13-16）探究、导数的几何意义问题 1：导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况，导数的几何意义是什么呢？问题 2：如课本图 1.1-2，当沿着曲线趋近于点 P(,时，割线的变化趋势是什么？新知 1：当点沿着曲线无限接近点 P 即 Δx→0 时 ,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为曲线在点 P处的切线.思考 1：这里的切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？思考 2：割线的斜率与切线 PT 的斜率有什么关系？切线 PT 的斜率为多少？新知 2：割线的斜率是 ；当点沿着曲线无限接近点 P 时，无限趋近于切线 PT 的斜率，即 。说明：（1）设切线的倾斜角为 α,那么当 Δx→0 时,割线 PQ 的斜率,称 为曲线在点 P 处的切线的斜率.这个概念①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 ; ② 切线斜率的本质是函数在处的导数.（2）曲线在某点处的切线:① 与该点的位置有关;② 要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;③ 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.新知 3：导数的几何意义：函数在处的导数等于在该点(,处的切线的斜率，即 ==思考：如何求曲线在某点处的切线方程？新知 4：导函数（简称导数）的概念：由函数 f(x)在 x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它 为 f(x)的导函数.记作：或，即: ==说明：函数在点处的导数、导函数、导数 之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数，就是在该 点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数的导函数;(3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数 值，这也是 求函数在点处的导数的方法之一。【合作探究】例 1:（1）求曲线=+1 在点 P(1,2)处的切线方程.⑵ 求函数 y=3在点(1,3)处的导数.例 2：已知曲线=。⑴ 求曲线的平行于直线的切线的切点坐标；⑵ 求曲线的垂直于...
