课题：角与距离的向量解法备课时间:2008 年 12 月 7 日 主备人:唐春兵 编号:047一、知识点梳理利用空间向量解决立体几何中的角与距离1、平面的法向量的求法：设，利用与平面内的两个向量垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解.(如图 1)2、线面角的求法：设是平面的法向量，是直线 的方向向量，则直线 与平面所成角的正弦值为（如图 2）3、二面角的求法：（1）分别是二面角的两个面内与棱 垂直的异面直线，则二面角的大小为.(如图 3)（2）设分别是是二面角的两个面的法向量，则，就是二面角的平面角或其补角.(如图 4)4、异面直线间距离的求法：是两条异面直线，是的公垂线段的方向向量，又分别是上的任意两点，则.(如图 5)5、点面距离的求法：设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则点到平面的距离为.(如图 6)6、线面距、面面距均可转化为点面距，再有 5中的方法求解.二、基础巩固练习1、已知向量，则与的交角为 .2、点，则的最小值为 .3、正方体中，与对角面所成角的余弦值为 .4、已知空间三点的坐标分别是，则向量在平面的法向量方向上的投影 为 .5、已知点则向量与的夹角的余弦值为 .6、异面直线方向向量是和，且，直线 的方向向量是，且，则的取值范围是 .三、例题精选例 1、如图，在棱长为的正方体中，是的中点，平面交于.（1）指出在上的位置，并说明理由；（2）求直线与所成角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值.例 2、在空间直角坐标系中,图 1图 2ABACDB图 3图DABC图 5AB图 6A1AB1C1D1BCDEF(1)求与的夹角的余弦值; (2)设,且平面,求;(3)求与平面所成角的正弦值; (3)求点到平面的距离.例 3、如图,四棱锥中,平面,与平面所成的角为,在四边形中,(1)建立适当的坐标系,并写出点的坐标;(2)求异面直线与所成角的余弦值;(3) 求异面直线与之间的距离; (4)若的中点为,求平面与平面所成角的大小.例 4、如图，已知正方体和矩形所在的平面互相垂直，是线段的中点.(1)求证：平面；（2）求二面角大小；（3）试在线段上一点，使得与所成的角是四、反馈练习1、把边长为的正三角形沿高折成的二面角，则点到直线的距离等于 .2、平面内的的斜线段，，且，则点到平面的距离为 .3、在三棱锥中，侧棱两两垂直，且，则点到平面的距离等于 .4、已知的直角顶点在平面内，与所成的角分别为，若，则的距离为 .5、在正三棱柱中，若，则异面直线与所成角的大小是 .6、在底面是直角梯形的四棱锥中...
