课题：角与距离的向量解法备课时间:2008 年 12 月 7 日 主备人:唐春兵 编号:047一、知识点梳理利用空间向量解决立体几何中的角与距离1、平面的法向量的求法：设，利用与平面内的两个向量垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解
(如图 1)2、线面角的求法：设是平面的法向量，是直线 的方向向量，则直线 与平面所成角的正弦值为（如图 2）3、二面角的求法：（1）分别是二面角的两个面内与棱 垂直的异面直线，则二面角的大小为
(如图 3)（2）设分别是是二面角的两个面的法向量，则，就是二面角的平面角或其补角
(如图 4)4、异面直线间距离的求法：是两条异面直线，是的公垂线段的方向向量，又分别是上的任意两点，则
(如图 5)5、点面距离的求法：设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则点到平面的距离为
(如图 6)6、线面距、面面距均可转化为点面距，再有 5中的方法求解
二、基础巩固练习1、已知向量，则与的交角为
2、点，则的最小值为
3、正方体中，与对角面所成角的余弦值为
4、已知空间三点的坐标分别是，则向量在平面的法向量方向上的投影 为
5、已知点则向量与的夹角的余弦值为
6、异面直线方向向量是和，且，直线 的方向向量是，且，则的取值范围是
三、例题精选例 1、如图，在棱长为的正方体中，是的中点，平面交于
（1）指出在上的位置，并说明理由；（2）求直线与所成角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值
例 2、在空间直角坐标系中,图 1图 2ABACDB图 3图DABC图 5AB图 6A1AB1C1D1BCDEF(1)求与的夹角的余弦值; (2)设,且平面,求;(3)求与平面所成角的正弦值; (3)求点到平面的距离
例 3、如图,四棱锥中,平面,与平面所成的角为,在四边形中,(1)建立适当的坐标系,并写出点的坐标;(2)求异面直线与所成角的余弦
