课时提升作业(五十三)椭圆(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知椭圆与双曲线22xy412=1的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于()A.35B.45C.54D.34【解析】选B.因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为2222xyab=1(a>b>0),因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,所以根据椭圆的定义可得2a=10⇒a=5,则c=412=4,e=c4,a5选B.2.(2015·烟台模拟)一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为()A.2x8+2y6=1B.2x16+2y6=1C.2x8+2y4=1D.2x16+2y4=1【解析】选A.设椭圆的标准方程为2222xyab=1(a>b>0).由点P(2,3)在椭圆上知2243ab=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=2×2c,c1,a2又c2=a2-b2,联立得a2=8,b2=6.【加固训练】已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.2x64-2y48=1B.2x48+2y64=1C.2x48-2y64=1D.2x64+2y48=1【解析】选D.设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为2x64+2y48=1.3.设F1,F2是椭圆E:2222xyab=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,F2PF1△是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()A.12B.23C.34D.45【解析】选C.设直线x=32a与x轴交于点Q,由题意得PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=∠32a-c,所以32a-c=12×2c,e=c3a4,故选C.4.(2015·聊城模拟)椭圆2222xyab=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一点,l:x=2ac,且PQl,⊥垂足为Q,若四边形PQF1F2为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是()A.(12,1)B.(0,12)C.(0,22)D.(22,1)【解析】选A.设点P(x1,y1),由于PQl,⊥故|PQ|=x1+2ac,因为四边形PQF1F2为平行四边形,所以|PQ|=|F1F2|=2c,即x1+2ac=2c,则有x1=2c-2ac>-a,所以2c2+ac-a2>0,即2e2+e-1>0,解得e<-1或e>12,由于0
b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰有8个不同的点P,使得△F1F2P为直角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是()A.(0,22)B.(0,22]C.(22,1)D.[22,1)【解析】选C.由题意,问题等价于椭圆上存在四个点P使得直线PF1与直线PF2垂直,所以|OP|=c>b,即c2>a2-c2,所以a<2c,因为e=ca,0b>0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1,l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是.【解题提示】关键是由l1,l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.又点P在椭圆内部,所以有c2b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cosABF=∠45,则C的离心率为.【解题提示】利用余弦定理确定|AF|,进而判定△ABF的形状,然后利用椭圆定义及直角三角形性质确定离心率.【解析】如图,设|AF|=x,则cosABF=∠222810x4.28105解得x=6(负值舍去),所以∠AFB=90°,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8,且∠FAF1=FAB+FBA=90°,FAF1∠∠△是直角三角形,所以|F1F|=10,故2a=8+6=14,2c=10,所以c5.a7答案:57三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2014·江苏高考)如图,在平面直角坐标系...
