“将军饮马”老歌新唱——例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题王 柏 校 古希腊有位将军要从 A 地出发到河边去饮马，然后再到 B 地军营视察，问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？0图1河流LBA地B地ACA这是著名的“将军饮马”问题，在河边饮马的地点有很多处，怎样找出使两条线段之和最短的那个点来，我们只要设 L 为河（如图 1），作 AO⊥L 交 L 于 O 点，延长 AO至，使O=AO；连结B，交 L 于 C，则 C 点就是所要求的饮马地点。再连结 AC，则路程（AC+CB）为最短的路程。为什么饮马地点选在 C 点能使路程最短？因为 A＇是 A 点关于 L 的对称点，AC 与C是相等的。而B 是一条线段，所以B 是连结 A＇、B 这两点间的所有线中，最短的一条，所以 AC+CB=C+CB=B 也是最短的一条路了。这就是运用轴对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。这一流传近 2000 年的名题至今还被命题者所喜爱，近年来许多省市中考中出现了以此故事为背景的试题，它们所考查的深度和广度也在不断演变、拓展，而且又常与其他的数学知识相联系，数形结合，突出了数学的思维价值和应用能力，能够有效地体现学生的数学学习能力，现从 2025 年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明，供广阔读者参考。一、演变成与正方形有关的试题例 1（2025 年抚顺）如图 2 所示，正方形的面积为 12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） A． B． C．3 D． 分析与解：正方形 ABCD 是轴对称图形，对角线 AC 所在直线是它的一条对称轴，相对的两个顶点 B、D 关于对角线 AC 对称,在这个问题中 D 和 E 是定点，P 是动点。我们可以找到一个定点 D 的轴对称点 B，连结 BE，与对角线 AC 交点处 P 就是使距离和最小的点（如图3），而使 PD+PE 的和的最小值恰好等于 BE,因为正方形的面积为 12，所以它的边长为 2，即 PD+PE 的最小值为 2。二、演变成与梯形有关的试题例 2（2025 鄂州）已知直角梯形 ABCD 中 AD∥BC,AB⊥BC，AD=2,BC=DC=5,点 P 在 BC 上移动，则当 PA+PD 取最小值时，⊿APD 中边 AP 上的高为（ ）A． B． C． D．3分析与解：如图，先作出 A 点关于 BC 的对称点 E,连结 DE 交 BC 于 P 点，连结 AP,再过点D 作 DF⊥BC 于 F,过点 D 作 DG⊥AP 于 G.先可以根据梯形知识和勾股定理可以求得 DF=4,从而 AB=4,再由 AB=...
