全等三角形常见辅助线作法【例 1】．已知：如图 6，△、△分别是以、为斜边的直角三角形，且，△是等边三角形．求证：△是等边三角形．【例 2】、如图，已知 BC > AB，AD=DC。BD 平分∠ABC。求证：∠A+C=180°.∠一、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。1、倍长中线法【例. 3】如图，已知在△中，，，平分，交于点.求证：证明：延长 DC 到 E，使得 CE=CD,联结 AE ∠ADE=60° AD=AE ∠C=90° ∴△ADE 为等边三角形∴AC⊥CD ∴AD=DE CD=CE DB=DA∴AD=AE ∴BD=DE ∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC∴∠BAC=60° AD 平分∠BAC∴∠BAD=30°∴DB=DA ∠ADE=60°【例 4.】 如图，是的边上的点，且，，是的中线。求证：第 3 题E。证明：延长 AE 到点 F,使得 EF=AE 联结 DF在△ABE 和△FDE 中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDA BE =DE ∠ABE=∠FDE ∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF∴△ABE ≌ △FDE（SAS） 在△ADF 和△ADC 中∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD AB=DC ∠ADF = ∠ADC∴ FD = DC DF =DC ∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF≌ ADC(SAS) ∴AF=AC ∴AC=2AE【变式练习】、 如图，△ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. 【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。 【变式练习】：如图所示，AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AC=BF。 求证：AE=EF。2、运用角平分线构造全等【例 5】如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=ODF证明：在 AC 上截取 AF=AE ,联结 OF 在△AOE 和△AOF 中在△ABC 中，∠B+∠BAD+∠ACB=180° AE=AF ∠B =60 ° ∠EAO=∠FAO∴∠BAD+∠ACB=120° AO = AO AD 平分∠BAC ∴△AOE ≌△AOF（ASA） 在△COD 和 △COF中∴∠BAC= 2∠OAC ∴∠AOE=∠AOE OE=OF ∠DCO =∠FCO CE 平分∠ACB ∠AOE=60° CO=CO∴∠ACB= 2∠ACO ∠AOE+∠AOE+∠FOC=180° ∠DOC=∠FOC∴2∠OAC+2∠ACO=120° ∠FOC=6O° ∴△COD ≌△COF（ASA） ∴∠OAC+∠ACO=60° ∠AOE=∠COD ∴OD =OF ∠AOE=∠OAC+∠ACO ∴∠COD=60° OE...
