北京四中高考数学总复习 平面向量的数量积及应用提高知识梳理

平面向量的数量积及应用【考纲要求】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.【知识网络】【考点梳理】 考点一、向量的数量积1. 定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作，即.规定：零向量与任一向量的数量积为 0.要点诠释：（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与余弦值决定 .（2）在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0≤≤180.此外，由于向量具有方向性，一定要找准 是哪个角.平面向量数量积及应用平面向量的数量积平面向量的应用平面向量的坐标运算2. 平面向量的数量积的几何意义我们规定叫做向量在方向上的投影，当为锐角时，为正值；当为钝角时，为负值；当=0时，；当=90时，；当=180时，.的几何意义：数量积等于的长度与 在方向上的投影的乘积.要点诠释：在方向上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于0.3. 性质：（1） (2) 当与同向时，；当与反向时，. 特别地(3) (4) 4. 运算律设已知向量、、和实数，则向量的数量积满足下列运算律：(1) (交换律)(2) (3) 要点诠释：①当时，由不一定能推出，这是因为对任何一个与垂直的向量，都有；当时，也不一定能推出，因为由，得，即与垂直.也就是向量的数量积运算不满足消去律.②对于实数，有，但对于向量来说，不一定相等，这是因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不一定共线，所以与不一定相等.5. 向量的数量积的坐标运算① 已知两个非零向量，，那么；② 若，则；③ 若，则，这就是平面内两点间的距离公式；④ 若，则6. 重要不等式若，则 考点二、向量的应用（1）向量在几何中的应用 ① 证明线段平行，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件；（）② 证明垂直问题，常用垂直的充要条件；③ 求夹角问题；利用夹角公式：.平面向量的夹角④ 求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模或.（2）向量在物理中的应用① 向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；② 向量在速度的分解与合成中的应用.【典型例题】类型一、数量积的概念【...