定积分应用题附答案

《定积分的应用》复习题一．填空：1．曲线所围成的平面图形的面积为 A = =b-a______2. ________二．计算题：1．求由抛物线 y2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。解：（1）确定积分变量为 y，解方程组 得即抛物线与直线的交点为（，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线 y = 1 和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－y）-y2 ］,底为 dy 的矩形面积，从而得到面积元素dA = [(１－y)- y2 ]dy(3)所求图形面积 A = [（1- y）-y2 ]dy = [y - y2 – y ]= 2．求抛物线 y = - x2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。解：由 y = - x2 + 4x – 3 得 。抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ ，3 ）。故 面积 A = 3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（）与横轴所围成的图形的面积。解：4． 求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：r = 3 cos 及 r = 1 + cos解：两曲线的交点由故 A = = 5 ． 计 算 由 摆 线 x = a (t – sint ) , y = a ( 1- cost) 的 一 拱 （），直线 y = 0 所围成的图形分别绕 X 轴、Y 轴旋转而成的旋转体的体积。解： =6．求由 x2 + y 2 = 2 和 y = x2所围成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积。解：（1）取积分变量为 x,为求积分区间，解方程组：{ ， 得圆与抛物线的两个交点为{，{ ，所以积分区间为 [-1，1]。（2）在区间[-1，1]上任取一小区间[x, x+dx]，与它对应的薄片体积近似于[（2 - x2）- x4] dx ,从而得到体积元素 dV = [（2 - x2）- x4]dx = （2 - x2- x4）dx.（3）故 = （2 - x2- x4）dx = 7．求圆盘绕 Y 轴旋转而成的旋转体的体积。解 设旋转体积为 V，则 8．设有抛物线 C：y = a – bx2 ( a > 0 , b > 0 )，试确定常数 a , b 的值，使得 C 与直线 y = x + 1 相切，且 C 与 X 轴所围图形绕 Y 轴旋转所得旋转体的体积达到最大。解：设切点坐标为( x , y ) ,由于抛物线与 y = x + 1 相切，故有 K = - 2b...