第12课 对称变换

对称变换对称变换都有哪些内容？【答】 对称变换主要有①y=f(－x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称;若 f(－x)=f(x),则函数自身的图象关于 y 轴对称.②y=－f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称.③y=－f(－x)与 y=f(x)的图象关于原点对称;若 f(－x)=－f(x),则函数自身的图象关于原点对称.④y=f－1(x)与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称.⑤y=－f－1(－x)与 y=f(x)的图象关于直线 y=－x 对称.⑥y=f(2a－x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称；若 f(x)=f(2a－x)(或 f(a＋x)=f(a－x))则函数自身的图象关于直线 x=a 对称.⑦y=2b－f(x)与 y=f(x)的图象关于直线 y=b 对称.⑧y=2b－f(2a－x)与 y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.［案例 1］证明函数 y= (a≠1)的图象关于直线 y=x 对称.本题考查对函数图象本身关于直线对称的理解.【分析】 利用函数解析式与它的反函数的解析式若为同一个函数，则函数图象关于直线 y=x对称，也可利用函数图象上任意点关于直线的对称点也在已知函数的图象上，则函数图象关于直线 y=x 对称.【证法一】 a≠1,y= (1＋) ∴y由 y= 得 x(ay－1)=y－1,x=∴y=(a≠1)的反函数是 y=∴y=的图象关于直线 y=x 对称.【证法二】 设点 P(x′,y′)是这个函数图象上任一点，则 x′≠且 y′=①易知点 P 关于直线 y=x 的对称点 P′的坐标为(y′,x′)由①得 y′(ax′－1)=x′－1②即 x′(ay′－1)=y′－1如果 ay′－1=0,则 y′=,代入①得=.解得 a=1,与已知矛盾.用心 爱心 专心于是 ay′－1≠0,∴由②得 x′=这说明点 P′(y′,x′)也在已知函数的图象上.因此，这个函数的图象关于直线 y=x 成对称图形.【评注】 要分清函数本身关于直线 y=x 对称与两个函数关于直线 y=x 对称的区别.1.已知函数 y=f(x)的图象如图 2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( )A.y=|f(x)|B.y=f(|x|)C.y=f(－x)D.y=－f(x)【解析】 y=f(|x|)是偶函数，图象关于 y 轴对称. 【答案】 B8.设函数 y=2x的图象为 C，某函数的图象 C′与 C 关于直线 x=2 对称，那么这个函数是( )A.y=2－xB.y=22－xC.y=24－xD.y=2x－4【解析】 y=f(x)的图象与 y=f(4－x)的图象关于直线 x=2 对称，设 f(x)=2x,则 f(4－x)=24－x.【答案】 C10.设函数 y=f(x)的定义域是 R，且 f(x－1)=f(1－x),那么 f(x)的图象有对称轴( )A.直线 x=0B.直线 x=1C.直线 y=0D.直线 y=1【解析】 设 x－1=t,则 f(t)=f...