中档题规范练三1.(2016·甘肃河西部分高中联考)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=acosB-ccosB.(1)求角B的值;(2)设A=θ,求函数f(θ)=2sin2(+θ)-cos2θ的取值范围.2.(2016·广西桂林、崇左联合调研)如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=4,AB=2DC=2.(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;(2)求四棱锥PABCD的体积.3.(2016·陕西咸阳模拟)从某校高三1200名学生中随机抽取40名,将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图(如图)(满分为150分,成绩均为不低于80分的整数),分为7段:[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].(1)求图中的实数a的值,并估计该校高三学生这次成绩不低于120分的人数;(2)在随机抽取的40名学生中,从成绩在[90,100)与[140,150]两个分数段内随机抽取两名学生,求这两名学生的成绩之差的绝对值不大于10的概率.4.(2016·河南中原名校联盟模拟)极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin(θ+),曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a(a>0),射线θ=,θ=+,θ=-,θ=+与曲线C1分别交异于极点O的四点A,B,C,D.(1)若曲线C1关于曲线C2对称,求a的值,并把曲线C1和C2化成直角坐标方程;(2)求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.5.(2016·陕西铜川三模)设函数f(x)=|x-1|+|x-2|.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a,b∈R)恒成立,求实数x的范围.中档题规范练三1.解:(1)由正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,得sinBcosC+cosBsinC=sinAcosB,即sin(B+C)=sinAcosB,所以sinA=sinAcosB,又因为sinA≠0,所以cosB=,所以B=.(2)锐角△ABC中,A+C=,θ∈(,),f(θ)=2sin2(+θ)-cos2θ=-cos2θ=(1+sin2θ)-cos2θ=sin2θ-cos2θ+1=2sin(2θ-)+1.因为θ∈(,),所以2θ-∈(,),所以2<2sin(2θ-)+1≤3.所以函数f(θ)的取值范围是(2,3].2.(1)证明:在△ABD中,由于AD=2,BD=4,AB=2,所以AD2+BD2=AB2.故AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD,故平面MBD⊥平面PAD.(2)解:过P作PO⊥AD交AD于O,由于平面PAD⊥平面ABCD,所以OP⊥平面ABCD.所以OP为四棱锥PABCD的高.又△PAD是边长为2的等边三角形,所以PO=×2=.在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,所以四边形ABCD是梯形.在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为=,所以四边形ABCD的面积为S=×=6.故=×6×=2.3.解:(1)由0.025+0.05+0.075+0.1+0.2+0.25+10a=1,得a=0.03,成绩在120分以上的频率为0.3+0.25+0.075=0.625,估计该校高三学生这次成绩不低于120分的人数为1200×0.625=750人.(2)成绩在[90,100)与[140,150]两个分数段内学生人数分别为2人和3人,从中抽出2人的基本事件总数为10,其中这两名学生的成绩之差的绝对值不大于10的事件数为4,所求概率为P==.4.解:(1)C1:(x-1)2+(y-1)2=2,C2:y=a,因为曲线C1关于曲线C2对称,所以C2过C1的圆心,得a=1,C2:y=1.(2)|OA|=2sin(+),|OB|=2sin(+)=2cos,|OC|=2sin,|OD|=2sin(+)=2cos(+),|OA|·|OC|+|OB|·|OD|=4.5.解:(1)f(x)=其图象如图,(2)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x),得≥f(x),又因为≥=2,则有2≥f(x),解不等式2≥|x-1|+|x-2|,得≤x≤,即实数x的范围为[,].
