中档题规范练五1.某度假区依山修建了高山滑雪场.为了适应不同人群的需要,从山上A处到山脚滑雪服务区P处修建了滑雪赛道A-C-P和滑雪练习道A-E-P(如图).已知cos∠ACP=-,cos∠APC=,cos∠APE=,公路AP长为10(单位:百米),滑道EP长为6(单位:百米).(1)求滑道CP的长度;(2)由于C,E处是事故的高发区,为及时处理事故,度假区计划在公路AP上找一处D,修建连接道DC,DE.问DP多长时,才能使连接道DC+DE最短,最短为多少百米?2.(2016·河北石家庄质检)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,PA⊥BD.(1)求证:PB=PD;(2)若E,F分别为PC,AB的中点,EF⊥平面PCD,求三棱锥DACE的体积.3.(2016·平顶山二模)某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平,在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试,将所得数据进行分组,分组区间为:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并绘制出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中的a的值;从该市随机选取一名学生,试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率;(2)设A,B,C三名学生的考试成绩在区间[80,90)内,M,N两名学生的考试成绩在区间[60,70)内,现从这5名学生中任选两人参加座谈会,求学生M,N至少有一人被选中的概率;(3)试估计样本的中位数落在哪个分组区间内(只需写出结论).(注:将频率视为相应的概率)4.(2016·广西三市一模)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.5.(2016·河南六市模拟)设函数f(x)=|2x-a|+2a.(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|-6≤x≤4},求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若不等式f(x)≤(k2-1)x-5的解集非空,求实数k的取值范围.中档题规范练五1.解:(1)因为cos∠ACP=-,cos∠APC=,所以sin∠ACP=,sin∠APC=.sin∠PAC=sin(∠APC+∠ACP)=sin∠APC·cos∠ACP+sin∠ACP·cos∠APC=,由=,得CP=5.所以滑道CP的长度是5百米.(2)设DP=x,x∈[0,10].因为EP=6,CP=5,cos∠APC=,cos∠APE=,所以DE==.DC==,所以DE+DC=+.令f(x)=DE+DC=+=+,当且仅当x=4时,f(x)min=f(4)=3+2.所以当DP为4百米时,DE+DC最短,为(3+2)百米.2.(1)证明:连接AC,交BD于点O,连接PO,因为底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD且O为BD的中点,又因为PA⊥BD,PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,由于PO⊂平面PAC,故BD⊥PO,又因为BO=DO,故PB=PD.(2)解:设PD的中点为Q,连接AQ,EQ,EO,则EQ=CD,且EQ∥CD,因为AB∥CD,F为AB的中点,所以AF=CD,且AF∥CD,所以EQ=AF,且EQ∥AF,所以四边形AFEQ为平行四边形,所以EF∥AQ,因为EF⊥平面PCD,所以AQ⊥平面PCD,因为PD⊂平面PCD,所以AQ⊥PD,因为Q为PD的中点,所以AP=AD=,由AQ⊥平面PCD,CD⊂平面PCD,可得AQ⊥CD,又因为AD⊥CD,AQ∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,因为PA⊂平面PAD,所以CD⊥PA,又因为BD⊥PA,BD∩CD=D,所以PA⊥平面ABCD.在△PAC中,E,O分别是PC,AC的中点,所以EO∥PA,且EO=PA,所以EO⊥平面ABCD,所以==×PA×S△ACD=×××××=,故三棱锥DACE的体积为.3.解:(1)根据频率分布直方图中频率和为1,得a=0.1-0.03-0.025-0.02-0.01=0.015,所以估计这名学生参加考试的成绩低于90(分)的概率为1-0.015×10=0.85.(2)从这5名学生中任选两人的所有选法共10种,分别为AB,AC,AM,AN,BC,BM,BN,CM,CN,MN;M,N至少有一人被选中的选法共7种,分别为AM,AN,BM,BN,CM,CN,MN;设学生M,N至少有一人被选中为事件D,所以P(D)=;即学生M,N至少有一人被选中的概率为.(3)因为0.01×10+0.02×10=0.3<0.5,(0.025+0.015)×10=0.4<0.5,所以样本的中位数落在区间[70,80)内.4.解:(1)因为ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,所以曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为:ρ2=4ρcosθ,所以x2+y2=4x,所以曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(2)将代入圆的方程(x-2)2+y2=4得:(tcosα-1)2+(tsinα)2=4,化简得t2-2tcosα-3=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则所以|AB|=|t1-t2|==,因为|AB|=.所以=,所以cosα=±,因为α∈[0,π),所以α=或α=π,所以直线的倾斜角α=或α=π.5.解:(1)因为|2x-a|+2a≤6,所以|2x-a|≤6-2a,所以2a-6≤2x-a≤6-2a,所以a-3≤x≤3-,因为不等式f(x)≤6的解集为{x|-6≤x≤4},所以解得a=-2.(2)由(1)得f(x)=|2x+2|-4,所以|2x+2|-4≤(k2-1)x-5,化简整理得|2x+2|+1≤(k2-1)x,令g(x)=|2x+2|+1=y=g(x)的图象如图实线所示:要使不等式f(x)≤(k2-1)x-5的解集非空,即g(x)≤(k2-1)x解集非空,需k2-1>2或k2-1≤-1,所以k的取值范围是{k|k>或k<-或k=0}.
