中档题规范练一1.(2016·广西来宾调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足ccosB=(2a+b)cos(π-C).(1)求角C的大小;(2)若c=4,△ABC的面积为,求a+b的值.2.(2016·甘肃河西五市部分普通高中联考)在三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥平面ABC.D,E分别是棱A1B1,AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=AB.(1)求证:EF∥平面BDC1;(2)求三棱锥DBEC1的体积.3.(2016·山东滨州一模)某高校进行自主招生测试.对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力的测试,其测试结果对应人数如下表:逻辑思维能力语言表达能力一般良好优秀一般22m良好441优秀1n2例如表中语言表达能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人.由于部分数据丢失,只知道从这20名参加测试的学生中随机选取1名,选到语言表达能力一般的学生的概率为.(1)求m,n的值;(2)从语言表达能力为优秀的学生中随机选取2名,求其中至少有1名逻辑思维能力优秀的学生的概率.4.(2016·宁夏吴忠模拟)已知在平面直角坐标系xOy内,点P(x,y)在曲线C:(θ为参数,θ∈R)上运动.以Ox为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=0.(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,点M在曲线C上移动,试求△ABM面积的最大值.5.(2016·吉林延边州模拟)已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f().中档题规范练一1.解:(1)因为ccosB=(2a+b)cos(π-C),所以sinCcosB=(-2sinA-sinB)cosC,所以sin(B+C)=-2sinAcosC.因为sin(B+C)=sinA,且sinA≠0,所以cosC=-.所以C=.(2)由S△ABC=absinC=,得ab=4,由余弦定理得c2=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=16.所以a+b=2.2.(1)证明:设O为AB的中点,连接A1O,因为AF=AB,O为AB的中点,所以F为AO的中点,又E为AA1的中点,所以EF∥A1O.又因为D为A1B1的中点,O为AB的中点,AB=A1B1,所以A1D=OB.又A1D∥OB,所以四边形A1DBO为平行四边形.所以A1O∥BD.又EF∥A1O,所以EF∥BD.又EF⊄平面BDC1,BD⊂平面BDC1.所以EF∥平面DBC1.(2)解:因为AB=BC=CA=AA1=2,D,E分别为A1B1,AA1的中点,AF=AB,AA1⊥平面ABC,即AA1⊥平面A1B1C1,所以C1D⊥A1B1,C1D⊥AA1,又A1B1∩AA1=A1,所以C1D⊥平面ABB1A1.而=,S△BDE=--S△ABE-=2×2-×2×1-×2×1-×1×1=.因为C1D=.所以==S△BDE·C1D=××=.3.解:(1)由题意可知,语言表达能力一般的学生共有(4+m)人.“设从20名学生中随机选取1名,”选到语言表达能力一般的学生为事件A,则P(A)==.解得m=1.所以n=3.(2)由题意可知,语言表达能力为优秀的学生共有6名,分别记为a,b,c,d,e,f,其中e和f为语言表达能力和逻辑思维能力都优秀的学生.从这6名学生中随机选取2名,所构成的基本事件有:{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{a,f},{b,c},{b,d},{b,e},{b,f},{c,d},{c,e},{c,f},{d,e},{d,f},{e,f},共15个.“设从语言表达能力为优秀的学生中随机选取2名,其中至少有1名逻辑思维能力优秀的学”生为事件B.事件B包含的基本事件有:{a,e},{a,f},{b,e},{b,f},{c,e},{c,f},{d,e},{d,f},{e,f},共9个,所以P(B)==.4.解:(1)消去参数θ,得曲线C的普通方程(x-1)2+y2=1.由ρcos(θ+)=0得ρcosθ-ρsinθ=0,即直线l的直角坐标方程为x-y=0.(2)圆心(1,0)到直线l的距离为d==,则圆上的点M到直线l的最大距离为d+r=+1(其中r为曲线C的半径),|AB|=2=.所以△ABM面积的最大值为××(+1)=.5.(1)解:f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=当x<-3时,由-2x-2≥8,解得x≤-5;当-3≤x≤1时不成立;当x>1时,由2x+2≥8,解得x≥3.所以,不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤-5或x≥3}.(2)证明:f(ab)>|a|f(),即|ab-1|>|a-b|.因为|a|<1,|b|<1,所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,所以|ab-1|>|a-b|,故所证不等式成立.
