打破常规 另辟蹊径――对(0)xykk图象的挖掘高中数学第二册（上）(人教版)第 70 页有这样一道例题，摘录如下：点 M 与两条互相垂直的直线的距离的积是常数 k（k>0），求点 M 的轨迹方程．该题同样出现在人教版的《平面解析几何》第 25 页上．这道题的常规解法，我们都很自然地以这两条互相垂直的直线作为 x 轴、y 轴，得到点 M 的轨迹方程为(0)xykk．但如果改成求点Ｍ的轨迹，我们能不能说出它是什么呢？由此引发我们的思考．笔者第三次讲授该例题，体会较多，今一一列举，请同行指点． 一、不妨换个角度建系，得到轨迹是双曲线如果我们简单从(0)xykk入手考虑问题，可能时间耗尽却收效甚微．那么请不妨换个角度，让建系来得不简单点吧！解：如图(1)，分别以这两条互相垂直的直线的角平分线作为 x 轴、y 轴，则 l1：x-y=0 ，l2：x+y=0 ．设动点 M (x,y)，由题意可得 2||yx ·2||yx =k，∴|x2-y2|=2k2 ，∴222kx-222ky=1 或 222ky-222kx=1．对于两条确定的直线 l1和 l2，点 M 的轨迹是确定的．由于建系的不同，我们求得的轨迹方程形式上也不同，但这不会改变图象的形状，故课本中求得的曲线 xy=±k（k>0）也是两条双曲线，而且是一对共轭双曲线．这里我的感触颇深，这种建系方法一般我们不会考虑，但其实如此建系不也一般嘛，中间的运算量也不算大，最主要地是轻松解决了我们的问题．这个“不简单”好啊！ 二、内容的引伸和难点的突破发现了上述特点，接下来的思考便是顺理成章，耐人寻味．我们不难发现直线 l1、l2是求得的两条双曲线的渐近线，于是我们得到：① 与两条相交直线的距离的积是常数 k（k>0）的点的轨迹是一对共轭双曲线，这两用心 爱心 专心1Oxy图（1 ）1l2l条相交直线是它们的渐近线．证明：如图(2)，以 AB、CD 的交点为原点，以∠AOD 角平分线所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，设动点 M(x，y)，AB：y=mx CD：y= mx (m 是常数，m>0) ，由题意可得，21||myxm·21||myxm=k，化简得 222)1(mmkx－)1(22mky=1 或)1(22mky－222)1(mmkx=1． 这两条双曲线是共轭双曲线，且渐近线是 y=±mx，∴求证结论成立．② 双曲线上的任一点到它的两条渐近线的距离之积是常数．证明：如图(3)，选择双曲线：22ax －22by=1(a>0,b>0)研究双曲线这一几何性质，渐近线：bx±ay=0．设 M(x,y)是双曲线： 22ax －22by=1(a>0,b>0)上任一点，则得 b...
