导数与函数的单调性【考点梳理】函数的导数与单调性的关系函数 y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若 f′(x)＞0，则 f(x)在这个区间内单调递增；(2)若 f′(x)＜0，则 f(x)在这个区间内单调递减；(3)若 f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是常数函数．【考点突破】考点一、判断或证明函数的单调性【例 1】已知函数已知函数 f(x)＝ln x＋a(1－x)，讨论 f(x)的单调性.[解析] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.若 a≤0，则 f′(x)>0 恒成立，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增.若 a>0，则当 x∈时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0，所以 f(x)在上单调递增，在上单调递减.【类题通法】用导数判断或证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)一求．求 f′(x)；(2)二定．确认 f′(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论．作出结论：f′(x)＞0 时为增函数；f′(x)＜0 时为减函数．【对点训练】已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)，试讨论 f(x)的单调性．[解析] f′(x)＝3x2＋2ax，令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝－.当 a＝0 时，因为 f′(x)＝3x2≥0，所以函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当 a＞0 时，x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，所以函数 f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减；当 a＜0 时，x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，所以函数 f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减.考点二、求函数的单调区间【例 2】已知函数 f(x)＝－aln x，a∈R，求 f(x)的单调区间．[解析] 因为 f(x)＝－aln x，所以 x∈(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝.(1)当 a≤0 时，f′(x)>0，所以 f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数.(2)当 a>0 时，f′(x)＝，则有① 当 x∈(0，)时，f′(x)<0，所以 f(x)的单调递减区间为(0，).② 当 x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，所以 f(x)的单调递增区间为(，＋∞).综上所述，当 a≤0 时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.当 a>0 时，函数 f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞).【类题通法】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求 f′(x)；(3)在定义域内解不等式 f′(x)＞0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式 f′(x)＜0，得单调递减区间．【对点训练】已知函数 f(x)＝ax2－a－ln x，a∈R，求 f(x)的单调区间．[解析] 由题意得 f′(x)＝2ax－＝(x>0).当 a≤0 时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞...
