高考数学 考点突破——导数及其应用与定积分：导数与函数的极值、最值学案-人教版高三全册数学学案

导数与函数的极值、最值【考点梳理】1．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数 f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧 f ′( x ) ＜ 0 ，右侧 f ′( x ) ＞ 0 ，则点 a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数 f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点 x＝b 附近的左侧 f ′( x ) ＞ 0 ，右侧 f ′( x ) ＜ 0 ，则点 b 叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤① 求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值；② 将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【考点突破】考点一、利用导数研究函数的极值问题【例 1】已知函数 f(x)＝ln x－ax(a∈R).(1)当 a＝时，求 f(x)的极值；(2)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数.[解析] (1)当 a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且 f′(x)＝－＝，令 f′(x)＝0，得 x＝2，于是当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表.x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增ln 2－1单调递减故 f(x)在定义域上的极大值为 f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值.(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0).当 a≤0 时，f′(x)>0 在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当 a>0 时，当 x∈时，f′(x)>0，当 x∈时，f′(x)<0，故函数在 x＝处有极大值.综上可知，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值点，当 a>0 时，函数 y＝f(x)有一个极大值点，且为 x＝.【例 2】(1)若函数 f(x)＝－x2＋x＋1 在区间上有极值点，则实数 a 的取值范围是( )A． B．C． D．(2)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a 在 x＝1 处取得极大值 10，则的值为( )A．－ B．－2C．－2 或－ D．2 或－[答案] (1) D (2) A[解析] (1)因为 f(x)＝－x2＋x＋1，所以 f′(x)＝x2－ax＋1.函数 f(x)＝－x2＋x＋1 在区间上有极...