立体几何中的向量方法【2019 年高考考纲解读】以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上．【重点、难点剖析】 1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线 l 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α，β 的法向量分别为 μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0..(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.2．空间角的计算(1)两条异面直线所成的角设直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 θ，则 cos φ＝|cos θ|＝(其中 φ 为异面直线 a，b 所成的角)．(2)直线和平面所成的角如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝.(3)二面角如图所示，二面角 α－l－β，平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面有 α－l－β 的大小为 θ 或 π－θ.3．用向量法证明平行、垂直问题的步骤1(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面．(2)通过向量运算研究平行、垂直问题．(3)根据运算结果解释相关问题．4．空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系(1)求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦；(2)求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析.【题型示例】题型一 向量法证明平行与垂直例 1、如图，在直三棱柱 ADE－BCF 中，面 ABFE 和面 ABCD 都是正方形且互相垂直，M 为 AB 的中点，O 为 DF 的中点，运用向量方法证明： (1)OM∥平面 BCF；(2)平面 MDF⊥平面 EFCD.证明：由题意，得 AB，AD，AE 两两垂直，以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为 1，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，O.(1)OM＝，BA＝(－1,0,0)，所以OM·BA＝0，所以OM⊥BA.因为棱柱 ADE－BCF 是直三棱柱...
