圆锥曲线的综合问题【2019 年高考考纲解读】1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．【重点、难点剖析】一、 范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．二、定点、定值问题1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． (1)求 E 的方程；(2)设 E 与 y 轴正半轴的交点为 B，过点 B 的直线 l 的斜率为 k(k≠0)，l 与 E 交于另一点 P.若以点 B 为圆心，以线段 BP 长为半径的圆与 E 有 4 个公共点，求 k 的取值范围．【解析】解法一 (1)设点 M(x，y)，由 2MQ＝AQ，得 A(x,2y)，由于点 A 在圆 C：x2＋y2＝4 上，则 x2＋4y2＝4，即动点 M 的轨迹 E 的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知，E 的方程为＋y2＝1，因为 E 与 y 轴正半轴的交点为 B，所以 B(0,1)，所以过点 B 且斜率为 k 的直线 l 的方程为 y＝kx＋1(k≠0)．由得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，设 B(x1，y1)，P(x2，y2)，因此 x1＝0，x2＝－，|BP|＝|x1－x2|＝.由于以点 B 为圆心，线段 BP 长为半径的圆与椭圆 E 的公共点有 4 个，由对称性可设在 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点 P，T，满足|BP|＝|BT|，此时直线 BP 的斜率 k＞0，记直线 BT 的斜率为 k1，且 k1＞0，k1≠k，则|BT|＝，故＝，所以－＝0，即(1＋4k2)＝(1＋4k)，所以(k2－k)(1＋k2＋k－8k2k)＝0，1由于 k1≠k，因此 1＋k2＋k－8k2k＝0，故 k2＝＝＋.因为 k2＞0，所以 8k－1＞0，所以 k2＝＋＞.又 k＞0，所以 k＞.又 k1≠k，所以 1＋k2＋k2－8k2k2≠0，所以 8k4－2k2－1≠0.又 k＞0，解得 k≠，所以 k∈∪.根据椭圆的对称性，k∈∪也满足题意．综上所述，k 的取值范围为∪∪∪.解法二 (1)设点 M(x，y)，A(x1，y1)，则 Q(x1,0)．因为 2MQ＝AQ，所以 2(x1－x，－y)＝(0，－y1)，所以解得因为点 A 在圆 C：x2＋y2＝4 上，所以 x2＋4y2＝4，所以动点 M 的轨迹 E 的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知，E 的方程为＋y2＝1，所以 B 的坐标为(0,1...
