高考数学一轮复习 不等式选讲 第二节 不等式的证明学案 理（含解析）新人教A版选修4-5-新人教A版高三选修4-5数学学案

第二节 不等式的证明2019 考纲考题考情1．比较法作差比较法与作商比较法的基本原理：(1)作差法：a－b>0⇔a > b 。(2)作商法：>1⇔a>b(a>0，b>0)。2．综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法。(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立。这是一种执果索因的思考和证明方法。3．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法。4．放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法。5．柯西不等式设 a，b，c，d 均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当 ad＝bc 时成立。1．a2≥0(a∈R)。2．(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有 a2＋b2≥2ab，2≥ab，a2＋b2≥(a＋b)2。3．若 a，b 为正实数，则≥，特别地，＋≥2。4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。一、走进教材1．(选修 4－5P23T1改编)已知 a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则 M，N 的大小关系为________。解析 2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)。因为 a≥b>0，所以 a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故 2a3－b3≥2ab2－a2b。答案 M≥N2．(选修 4－5P24例 3 改编)求证：＋<2＋。证明 ＋<2＋⇐(＋)2<(2＋)2⇐10＋2<10＋4⇐<2⇐21<24。故原不等式成立。二、走出误区微提醒：①不等式放缩不当致错；②运用柯西不等式不能合理变形。3．设 a，b∈(0，＋∞)，且 ab－a－b＝1，则有( )A．a＋b≥2(＋1) B．a＋b≤＋1C．a＋b<＋1 D．a＋b>2(＋1)解析 由已知得 a＋b＋1＝ab≤2，故有(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，解得 a＋b≥2＋2 或a＋b≤－2＋2(舍去)，即 a＋b≥2＋2。(当且仅当 a＝b＝＋1 时取等号)故选 A。答案 A4．已知三个互不相等的正数 a，b，c 满足 abc＝1。试证明：＋＋<＋＋。证明 因为 a，b，c>0，且互不...