数学思想专练(一) 函数与方程思想题组 1 运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题1．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差 d≠0，Sn是其前 n 项和，若 a1，a2，a5成等比数列，则 S8的值为( )A．16 B．32 C．64 D．62C [由题意可知 a＝a1a5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，解得 d＝2，所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.∴S8＝＝4×(1＋15)＝64.]2．若 2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( ) A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0B [原不等式可化为 2x－5－x≤2－y－5y，构造函数 y＝2x－5－x，其为 R 上的增函数，所以有 x≤－y，即 x＋y≤0.]3．若关于 x 的方程 x2＋2kx－1＝0 的两根 x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，则 k 的取值范围是( )A. B.C. D.B [构造函数 f(x)＝x2＋2kx－1，因为关于 x 的方程 x2＋2kx－1＝0 的两根 x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，所以即所以－＜k≤0，所以 k 的取值范围是.]4．(2017·南昌三模)已知 α 是锐角三角形的最小内角，向量 a＝(sin α，1)，b＝(1，cos α)，则 a·b 的取值范围是________. (1，] [a·b＝sin α＋cos α＝sin，由 0＜α≤得＜α＋≤π，所以＜sin≤1，所以 1＜a·b≤.]5．(2016·郑州模拟)已知函数 f(x)＝xln x＋a，g(x)＝x2＋ax，其中 a≥0.(1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线 y＝g(x)也相切，求 a 的值；(2)证明：x＞1 时，f(x)＋＜g(x)恒成立． [解] (1)由 f(x)＝xln x＋a，得 f(1)＝a，f′(x)＝ln x＋1，所以 f′(1)＝1．1分所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为 y＝x＋a－1.因为直线 y＝x＋a－1 与曲线 y＝g(x)也相切，所以两方程联立消元得 x2＋ax＝a＋x－1，即 x2＋(a－1)x＋1－a＝0，3 分所以 Δ＝(a－1)2－4××(1－a)＝0，得 a2＝1.因为 a≥0，所以 a＝1．6 分(2)证明：x＞1 时，f(x)＋＜g(x)恒成立，等价于 x2＋ax－xln x－a－＞0 恒成立．令 h(x)＝x2＋ax－xln x－a－，则 h(1)＝0 且 h′(x)＝x＋a－ln x－1．6分令 φ(x)＝x－ln x－1，则 φ(1)＝0 且 φ′(x)＝1－＝，8 分所以 x＞1 时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，所以 φ(x)＞φ(1)＝0.又因为 a≥0，所以 h′(x)＞0，h(x)单调递增，所以 h(x)＞h(1)＝0，所以 x＞1 时，x2＋ax－xln x－a－＞0 恒成立，11 分即 x＞1 时，f(x)＋＜g(x)恒成立．12 分题组 2 利用函数与方程思想解决几何问题6．设抛物线...
