第 2 讲 解三角形问题题型 1 利用正、余弦定理解三角形(对应学生用书第 5 页)■核心知识储备………………………………………………………………………·1．正弦定理及其变形在△ABC 中，＝＝＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 等．2．余弦定理及其变形在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A；变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.3．三角形面积公式S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题 1】 (考查解三角形应用举例)如图 21，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________m.图 21[思路分析] 由已知条件及三角形内角和定理可得∠ACB 的值―→在△ABC 中，利用正弦定理求得 BC―→在 Rt△BCD 中利用锐角三角函数的定义求得 CD 的值．[解析] 依题意有 AB＝600，∠CAB＝30°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠DBC＝30°，DC⊥CB.∴∠ACB＝45°，在△ABC 中，由＝，得＝，有 CB＝300，在 Rt△BCD 中，CD＝CB·tan 30°＝100，则此山的高度 CD＝100 m.[答案] 100【典题 2】 (考查应用正余弦定理解三角形)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知△ABC 的面积为.(1)求 sin Bsin C；(2)若 6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC 的周长. 【导学号：07804011】[解] (1)由题设得 acsin B＝，即 csin B＝.由正弦定理得 sin Csin B＝.故 sin Bsin C＝.(2)由题设及(1)得 cos Bcos C－sin Bsin C＝－，即 cos(B＋C)＝－.所以 B＋C＝，故 A＝.由题意得 bcsin A＝，a＝3，所以 bc＝8.由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由 bc＝8，得 b＋c＝.故△ABC 的周长为 3＋.[类题通法]1.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.2.在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A 中，有 a2＋c2和 ac 两项，二者的关系 a2＋c2＝a＋c2－2a...
