专题 04 导数及其应用高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测 2018 年高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．1．导数的定义f ′(x)＝lim ＝lim .2．导数的几何意义函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f ′(x0)就是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即 k＝f ′(x0)．3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式①c′＝0(c 为常数)； ②(xm)′＝mxm－1；③(sinx)′＝cosx; ④(cosx)′＝－sinx；⑤(ex)′＝ex; ⑥(ax)′＝axlna；⑦(lnx)′＝； ⑧(logax)′＝.(2)导数的四则运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；③[]′＝.④ 设 y＝f(u)，u＝φ(x)，则 y′x＝y′uu′x.4．函数的性质与导数在区间(a，b)内，如果 f ′(x)>0，那么函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增．如果 f ′(x)<0，那么函数 f(x)在区间(a，b)上单调递减．5．利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③求出交点坐标，确定积分的上、下限；④运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．特别注意平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值．被积函数为 y＝f(x)，由曲线 y＝f(x)与直线 x＝a，x＝b(a0 时，S＝f(x)dx；② 当 f(x)<0 时，S＝－f(x)dx；③ 当 x∈[a，c]时，f(x)>0；当 x∈[c，b]时，f(x)<0，则 S＝f(x)dx－f(x)dx.考点一 导数的几何意义及应用例 1、(1)已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则 a＝________.答案：1 (2)已知曲线 y＝x＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，则 a＝________.解析：基本法：令 f(x)＝x＋ln x，求导得 f′(x)＝1＋，f′(1)＝2，又 f(1)＝1，所以曲线 y＝x＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1.设直线 y＝2x－1与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 的切点为 P(x0，y0)，则 y′|x＝x0＝2ax0＋a＋2＝2，得a(2x0＋1)＝0，∴a＝0 或 x0＝－，又 ax＋(a＋2)x0＋1＝2x0－1，即 ax＋ax0＋2＝0，当 a＝0 时，显然不满足此方程，∴x0＝－，此时 a＝8.速解法...
