第 10 讲 立体几何中的向量方法题型 1 向量法求线面角(对应学生用书第 33 页)■核心知识储备………………………………………………………………………·1．两条异面直线的夹角(1)两异面直线的夹角 θ∈.(2)设直线 l1，l2的方向向量为 s1，s2，则 cos θ＝|cos〈s1，s2〉|＝.2．直线与平面的夹角(1)直线与平面的夹角 θ∈.(2)设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，则 sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题】 (2016·全国Ⅲ卷)如图 101，四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点．图 101(1)证明 MN∥平面 PAB；(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值. 【导学号：07804072】[解] (1)证明：由已知得 AM＝AD＝2.如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 的中点知 TN∥BC，TN＝BC＝2.又 AD∥BC，故 TN 綊 AM，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN∥AT.因为 AT⊂平面 PAB，MN⊄平面 PAB，所以 MN∥平面 PAB.(2)取 BC 的中点 E，连接 AE.由 AB＝AC 得 AE⊥BC，从而 AE⊥AD，且 AE＝＝＝.以 A 为坐标原点，AE的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.由题意知 P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，PM＝(0,2，－4)，PN＝，AN＝.设 n＝(x，y，z)为平面 PMN 的法向量，则即可取 n＝(0,2,1)．于是|cos〈n，AN〉|＝＝.所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为.[类题通法] 向量法求线面角的一般步骤1.建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标.2.写出相关向量的坐标.3.求平面的法向量.4.求线面角的正弦值.5.转化为几何结论.提醒：直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化.■对点即时训练………………………………………………………………………·如 图 102 ， 菱 形 ABCD 中 ， ∠ ABC ＝ 60° ， AC 与 BD 相 交 于 点 O ， AE⊥ 平 面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.图 102(1)求证：BD⊥平面 ACFE；(2)当直线 FO 与平面 BED 所成的角为 45°时，求异面直线 OF 与 BE 所成的角的余弦值大小．[解] (1)证明： 四边形 ABCD 是菱形，∴BD⊥AC. AE⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴BD⊥...
