第 12 讲 圆锥曲线的定义、方程、几何性质题型 1 圆锥曲线的定义、标准方程(对应学生用书第 40 页)■核心知识储备………………………………………………………………………·圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M.■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题 1】 (考查圆锥曲线标准方程的求解)设双曲线与椭圆＋＝1 相交且有共同的焦点，其中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是( )A.－＝1B．－＝1C.－＝1D．－＝1[思路分析] 依据已知条件，得出双曲线的焦点坐标和双曲线过点(，4)，利用定义法、待定系数法或共焦点曲线系方程求解即可．[解析] 法一：(定义法)椭圆＋＝1 的焦点坐标分别是(0,3)，(0，－3)．根据双曲线的定义知，2a＝|－|＝4，解得 a＝2，又 b2＝c2－a2＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.故选 A.法二：(待定系数法)椭圆＋＝1 的焦点坐标分别是(0,3)，(0，－3)．设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则 a2＋b2＝9.①又点(，4)在双曲线上，所以－＝1.②由①②解得 a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为－＝1.故选 A.法三：(共焦点的曲线系方程)设双曲线的方程为＋＝1(27＜λ＜36)，由于双曲线过点(，4)，故＋＝1，解得 λ＝32 或 λ＝0(舍去)．故所求双曲线的标准方程为－＝1.故选 A.[答案] A【典题 2】 (考圆锥曲线定义的应用)已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l上一点，Q 是直线 PF 与抛物线 C 的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝( )【导学号：07804086】A. B．3 C. D．2[解析] 如图所示，因为FP＝4FQ，所以＝，过点 Q 作 QM⊥l 垂足为 M，则 MQ∥x 轴，所以＝＝，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知|QF|＝|QM|＝3.[答案] B【典题 3】 (考查圆锥曲线的轨迹问题)(2017·福建泉州二模)在△ABC 中，O 是 BC 的中点，|BC|＝3，△ABC 的周长为 6＋3，若点 T 在线段 AO 上，且|AT|＝2|TO|，建立合适的平面直角坐标系，求点 T 的轨迹 E 的方程．[解] 以 O 为坐标原点，BC 为 x 轴，BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系xOy.依题意，得 B，C.由|AB|＋|AC|＋|BC|＝6＋3，得|AB|＋|AC|＝6，故|AB|＋|AC|＝6＞|BC|，所以 A 的轨迹是以 B，C 为焦点，长轴长...
