第 13 讲 圆锥曲线中的综合问题题型 1 圆锥曲线中的定值问题(对应学生用书第 43 页)■核心知识储备………………………………………………………………………·解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题】 已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在 C 上．(1)求 C 的方程；(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为M.证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．[解] (1)由题意有＝，＋＝1，解得 a2＝8，b2＝4.所以 C 的方程为＋＝1.(2)证明：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将 y＝kx＋b 代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故 xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.于是直线 OM 的斜率 kOM＝＝－，即 kOM·k＝－.所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．[类题通法] 定值问题的常见方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．■对点即时训练………………………………………………………………………·已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F1(－，0)，e＝.图 131(1)求椭圆 C 的方程； (2)如图 131，设 R(x0，y0)是椭圆 C 上一动点，由原点 O 向圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点 P，Q，若直线 OP，OQ 的斜率存在，并记为 k1，k2，求证：k1k2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．[解] (1)由题意得，c＝，e＝，解得 a＝2，∴椭圆 C 的方程为＋＝1.(2)由已知，直线 OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，且与圆 R 相切，∴＝2，化简得(x－4)k－2x0y0k1＋y－4＝0，同理，可得(x－4)k－2x0y0k2＋y－4＝0， ∴k1，k2是方程(x－4)k2－2x0y0k＋y－4＝0 的两个不相等的实数根，∴x－4≠0，Δ＞0，k1k2＝. 点 R(x0，y0)在椭圆 C 上，∴＋＝1，即 y＝6－x，∴k1k2＝＝－.(3)|OP|2＋|OQ|2是定值 18.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得，解得，∴x＋y＝，同理，可得 x＋y＝.由 k1k2＝－，得|OP|2＋|OQ|2＝x＋y...
