突破点 13 圆锥曲线中的综合问题(酌情自选)[核心知识提炼]提炼 1 解答圆锥曲线的定值、定点问题,从三个方面把握(1)从特殊开始,求出定值,再证明该值与变量无关.(2)直接推理、计算,在整个过程中消去变量,得定值.(3)在含有参数的曲线方程里面,把参数从含有参数的项里面分离出来,并令其系数为零,可以解出定点坐标.提炼 2 用代数法求最值与范围问题时从下面几个方面入手(1)若直线和圆锥曲线有两个不同的交点,则可以利用判别式求范围.(2)若已知曲线上任意一点、一定点或与定点构成的图形,则利用圆锥曲线的性质(性质中的范围)求解.(3)利用隐含或已知的不等关系式直接求范围.(4)利用基本不等式求最值与范围.(5)利用函数值域的方法求最值与范围.提炼 3 与圆锥曲线有关的探索性问题(1)给出问题的一些特殊关系,要求探索出一些规律,并能论证所得规律的正确性.通常要对已知关系进行观察、比较、分析,然后概括出一般规律.(2)对于只给出条件,探求“是否存在”类型问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后由假设出发,结合已知条件进行推理,若推出相符的结论,则存在性得到论证;若推出矛盾,则假设不存在.[高考真题回访]回访 1 圆锥曲线的定值、定点问题1.(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆 C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在 C 上.(1)求 C 的方程;(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为M.证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.[解] (1)由题意有=,+=1,2 分解得 a2=8,b2=4.3 分所以 C 的方程为+=1.4 分(2)证明:设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将 y=kx+b 代入+=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.6 分故 xM==,yM=k·xM+b=.8 分于是直线 OM 的斜率 kOM==-,即 kOM·k=-.11 分所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.12 分回访 2 圆锥曲线中的最值与范围问题2.(2016·全国卷Ⅱ)已知 A 是椭圆 E:+=1 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A,M两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积;(2)当 2|AM|=|AN|时,证明:0.由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为.又 A(-2,0),因此直线 AM 的方程为 y=x+2.将 x=y-2 代入+=1 得 7y2-...