第二节 不等式的证明与应用[考纲传真] 1.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.2.能够利用平均值不等式，柯西不等式求一些特定函数的极值.3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法．1．基本不等式定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立．定理 2：如果 a，b 为正数，则≥，当且仅当 a＝b 时，等号成立．定理 3：如果 a，b，c 为正数，则≥，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…，an为 n 个正数，则≥，当且仅当 a1＝a2＝…＝an时，等号成立．2．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥( ac ＋ bd ) 2 (当且仅当 ad＝bc 时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设 α，β 是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当 α或 β 是零向量，或存在实数 k，使 α＝kβ(α，β 为非零向量)时，等号成立．(3)柯西不等式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则＋≥.(4)柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．3．不等式的证明方法(1)比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为求差比较法和求商比较法两种．名称求差比较法求商比较法理论依据a＞b⇔a － b ＞ 0 a＜b⇔a － b ＜ 0 a＝b⇔a － b ＝ 0 b＞0，＞1⇒a＞b b＜0，＞1⇒a＜b(2)分析法从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的性质(或已经证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因导果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)放缩法通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论． ( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )1(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法...
