第 1 讲 函数与方程思想、数形结合思想数学思想解读1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系，相互为用的.2.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.热点一 函数与方程思想应用 1 求解不等式、函数零点的问题【例 1】 (1)(2017·衡阳联考)设 0
1)恰有 3 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是________.解析 (1)设 f(x)＝ex－x－1，x>0，则 f′(x)＝ex－1，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(0)＝0，f(x)>0，∴ex－1>x，即 ea－1>a.又 y＝ax(0ae，从而 ea－1>a>ae.(2)由 f(x＋4)＝f(x)，即函数 f(x)的周期为 4，因为当 x∈[－2，0]时，f(x)＝－6.所以若 x∈[0，2]，有－x∈[－2，0]，则 f(－x)＝－6＝3x－6，因为 f(x)是偶函数，所以 f(x)＝f(－x)＝3x－6，x∈[0，2]，由 f(x)－loga(x＋2)＝0 得 f(x)＝loga(x＋2)，作出函数 f(x) 的图象如图.当 a>1 时，要使方程 f(x)－loga(x＋2)＝0 恰有 3 个不同的实数根，则等价于函数 f(x)与 g(x)＝loga(x＋2)有 3 个不同的交点，则满足即解得
