第 2 讲 函数与方程、数形结合思想数学思想解读 1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系、相互为用的.2.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.热点一 函数与方程思想应用 1 求解不等式、函数零点的问题【例 1】 (1)设 0
0，则 f′(x)＝ex－1>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(0)＝0，f(x)>0，∴ex－1>x，即 ea－1>a.又 y＝ax(0ae，从而 ea－1>a>ae.(2)令 h(x)＝g(x)，得 xln x＋1＝kx，即＋ln x＝k.令函数 f(x)＝ln x＋，若方程 xln x－kx＋1＝0 在区间上有两个不等实根，则函数 f(x)＝ln x＋与 y＝k 在区间上有两个不相同的交点，f′(x)＝－，令－＝0 可得 x＝1，当 x∈时f′(x)<0，函数是减函数；当 x∈(1，e)时，f′(x)>0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为 f(1)＝1，而 f ＝－1＋e，f(e)＝1＋，又－1＋e>1＋，所以，函数的最大值为 e－1.所以关于 x 的方程 xln x－kx＋1＝0 在区间上有两个不等实根，则实数 k 的取值范围是.答案 (1)B (2)B探究提高 1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.【训练 1】 (1)设函数 f(x)＝－...
