第 3 讲 分类讨论、转化与化归思想数学思想解读 1.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一 分类讨论思想的应用应用 1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例 1】 (1)若函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则 a＝________.(2)在等比数列{an}中，已知 a3＝，S3＝，则 a1＝________.解析 (1)若 a>1，有 a2＝4，a－1＝m.解得 a＝2，m＝.此时 g(x)＝－为减函数，不合题意.若 0
1 两种情况讨论.2.利用等比数列的前 n 项和公式时，若公比 q 的大小不确定，应分 q＝1 和 q≠1 两种情况进行讨论，这是由等比数列的前 n 项和公式决定的.【训练 1】 (1)(2018·长沙一中质检)已知 Sn为数列{an}的前 n 项和且 Sn＝2an－2，则 S5－S4的值为( )A.8 B.10 C.16 D.32(2)函数 f(x)＝若 f(1)＋f(a)＝2，则 a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2a1－2，解得 a1＝2.因为 Sn＝2an－2，当 n≥2 时，Sn－1＝2an－1－2，两式相减得，an＝2an－2an－1，即 an＝2an－1，则数列{an}为首项为 2，公比为 2 的等比数列，则 S5－S4＝a5＝25＝32.(2)f(1)＝e0＝1，即 f(1)＝1.由 f(1)＋f(a)＝2，得 f(a)＝1.当 a≥0 时，f(a)＝1＝ea－1，所以 a＝1.当－1
