第 4 讲 导数及其应用 1. 导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等．2. 研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，其主要考查方式有：(1) 确定函数的零点、图象交点的个数；(2) 由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．1. 若 a＞1，则函数 f(x)＝x3－ax2＋1 在(0，2)内零点的个数为________．答案：1解析：f′(x)＝x2－2ax，由 a＞1 可知，f′(x)在 x∈(0，2)时恒为负，即 f(x)在(0，2)内单调递减．又 f(0)＝1＞0，f(2)＝－4a＋1＜0，所以 f(x)在(0，2)内只有一个零点．2. (2018·南通中学)已知函数 f(x)＝x3－2x2＋3m，x∈[0，＋∞)．若 f(x)＋5≥0 恒成立，则实数 m 的取值范围是________．答案：解析：f′(x)＝x2－4x，由 f′(x)>0，得 x>4 或 x<0，所以 f(x)在(0，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，所以当 x∈[0，＋∞)时，f(x)min＝f(4)．要使 f(x)＋5≥0 恒成立，只需 f(4)＋5≥0 恒成立即可，代入解得 m≥.3. 已知某生产厂家的年利润 y(万元)与年产量 x(万件)的函数关系式为 y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．答案：9解析：由题意知，x＞0，令 y′＝－x2＋81＞0，解得 0＜x＜9；令导数 y′＝－x2＋81＜0，解得 x＞9.所以函数 y＝－x3＋81x－234 在区间(0，9)上是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数，所以在 x＝9 处取极大值，也是最大值．4. 已知函数 f(x)＝ex，g(x)＝x2＋x＋1，则与 f(x)，g(x)的图象均相切的直线方程是________．答案：y＝x＋1解析：因为函数 f(x)＝ex 与函数 g(x)＝x2＋x＋1 的图象有唯一公共点(0，1)，且 f′(0)＝g′(0)＝1，所以它们的公切线方程是 y＝x＋1., 一) 函数的零点问题, 1) (2018·镇江期末)已知 b>0，且 b≠1，函数 f(x)＝ex＋bx，其中 e为自然对数的底数．(1) 对满足 b>0，且 b≠1 的任意实数 b，证明函数 y＝f(x)的图象经过唯一定点；(2) 如果关于 x 的方程 f(x)＝2 有且只有一个解，求实数 b 的取值范围．解：(1)假设 y＝f(x)过定点(x0，y0)，则 y0＝ex0＋bx0对任意 b>0，且 b≠1 恒成立．令 b＝2 得 y0＝ex0＋2x0；令 b＝3 得 y0＝ex0＋3x...
