2.6.1 圆锥曲线的方程与性质1．(2016·全国卷Ⅱ)圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离为1，则 a＝( )A．－ B．－ C. D．2[解析] 由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得 d＝＝1，解得 a＝－，故选 A.[答案] A2．(2018·全国卷Ⅲ)直线 x＋y＋2＝0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x－2)2＋y2＝2 上，则△ABP 面积的取值范围是( )A．[2,6] B．[4,8]C．[，3] D．[2，3][解析] 由圆(x－2)2＋y2＝2 可得圆心坐标为(2,0)，半径 r＝，△ABP 的面积记为 S，点 P 到直线 AB 的距离记为 d，则有 S＝|AB|·d，易知|AB|＝2，dmax＝＋＝3，dmin＝－＝，所以 2≤S≤6，故选 A.[答案] A3．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cosθ，sinθ)到直线 x－my－2＝0 的距离．当 θ，m 变化时，d 的最大值为( )A．1 B．2 C．3 D．4[解析] 解法一：由点到直线的距离公式得 d＝，cosθ－msinθ＝，令 sinα＝，cosα＝，∴cosθ－msinθ＝sin(α－θ)，∴d≤＝＝1＋，∴当 m＝0 时，dmax＝3，故选 C.解法二：∵cos2θ＋sin2θ＝1，∴P 点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又 x－my－2＝0 表示过点(2,0)且斜率不为 0 的直线，如图，可得点(－1,0)到直线 x＝2 的距离即为 d 的最大值．故选 C.[答案] C4．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l：y＝2x 上在第一象限内的点，B(5,0)，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若AB·CD＝0，则点 A 的横坐标为________．[解析] 由题意易得∠BAD＝45°.设直线 DB 的倾斜角为 θ，则 tanθ＝－，∴tan∠ABO＝－tan(θ－45°)＝3，∴kAB＝－tan∠ABO＝－3.∴AB 的方程为 y＝－3(x－5)，由得 xA＝3.[答案] 35．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线 l：mx＋y＋3m－＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.[解析] 由题意可知直线 l 过定点(－3，)，该定点在圆 x2＋y2＝12 上，不妨设点A(－3，)，由于|AB|＝2，r＝2，所以圆心到直线 AB 的距离为 d＝＝3，又由点到直线的距离公式可得 d＝，∴＝3，解得 m＝－，所以直线 l 的斜率 k＝－m＝，即直线 l 的倾斜角为 30°.如图，过点 C 作CH⊥BD，垂足为 H，所以|CH|＝2，在 Rt△CHD 中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝＝4.[答案] 41.近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．
