第三节 基本不等式[考纲传真] 1
了解基本不等式的证明过程
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．(3)其中称为正数 a，b 的算术平均数，称为正数 a，b 的几何平均数．2．两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．3．利用基本不等式求最值已知 x≥0，y≥0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x ＝ y 时，x＋y 有最小值是 2(简记：积定和最小)．(2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x ＝ y 时，xy 有最大值是(简记：和定积最大)．[常用结论]1
＋≥2(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号．2．ab≤2≤
≤≤≤(a＞0，b＞0)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与≥成立的条件是相同的．( )(2)函数 y＝x＋的最小值是 2
( )(3)函数 f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为 4
( )(4)x＞0 且 y＞0 是＋≥2 的充要条件．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)设 x＞0，y＞0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( )A．80 B．77 C．81 D．82C [ x＞0，y＞0，∴≥，即 xy≤2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，(xy)max＝81
]3．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则 a＋b 的最小值等于( )A．2 B．3 C．4 D．5C [由题意得＋＝1
又 a＞0，b＞0，∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4
