4. 数列与不等式■要点重温…………………………………………………………………………·1．等差数列及其性质(1){an}等差数列⇔an＋1－an＝d(d 为常数)或 an＋1－an＝an－an－1 (n≥2) ⇔2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)⇔an＝an＋b⇔Sn＝An2＋Bn.(2)等差数列的性质①an＝am＋(n－m)d；② 当 m＋n＝p＋q 时，则有 am＋an＝ap＋aq，特别地，当 m＋n＝2p 时，则有 am＋an＝2ap.③Sn＝na1＋d＝n2＋n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0.④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．[应用 1] 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝12，S20＝17，则 S30为( )A．15 B．20C．25D．30[答案] A2．等比数列及其性质(1){an}等比数列⇔ ⇔＝q(q 为常数，q≠0)(a1≠0)⇔an＝a1·qn－1.[应用 2] x＝是 a、x、b 成等比数列的( )【导学号：07804176】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[解析] 若 x＝a＝0，x＝成立，但 a、x、b 不成等比数列， 所以充分性不成立；反之，若 a、x、b 成等比数列，则 x2＝ab⇔x＝±，所以 x＝不一定成立，必要性不成立．所以选 D.[答案] D(2)等比数列的性质当 m＋n＝p＋q 时，则有 am·an＝ap·aq，特别地，当 m＋n＝2p 时，则有 am·an＝a.[应用 3] (1)在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比 q 是整数，则 a10＝________.(2)各项均为正数的等比数列{an}中，若 a5·a6＝9，则 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.[答案] (1)512 (2)10(3)求等比数列前 n 项和时，首先要判断公比 q 是否为 1，再由 q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比 q 是否为 1 时，要对 q 分 q＝1 和 q≠1 两种情形讨论求解．[应用 4] 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＋S6＝S9，则数列的公比 q 是________．[解析] ①当 q＝1 时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，∴S3＋S6＝S9成立．② 当 q≠1 时，由 S3＋S6＝S9得＋＝∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0. q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.[答案] 1 或－13．求数列通项的常见类型及方法(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．[应用 5] 如图 10(1)，将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图 10(2)，如此继续下去，得图 10(3)……，试探求第 n 个图形的边...
