第 2 讲 基本不等式与线性规划 1. 高考对线性规划的考查，除了传统的已知可行域求目标函数最值之外，还会结合围成可行域的图形特点，或是在条件中设置参数，与其他知识相结合，产生一些非常规的问题．在处理这些问题时，第一，依然要借助可行域及其图形；第二，要确定参数的作用，让含参数的图形运动起来寻找规律；第三，要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言并进行精确计算．2. 高考中对基本不等式的考查，主要是利用基本不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识进行综合考查，同时运用基本不等式的性质求参数范围、证明不等式等也是热点．1. (2018·南京学情调研)已知实数 x，y 满足条件则 z＝3x－2y 的最大值为________．答案：6解析：如图，作出线性区域，阴影部分即为可行域．目标函数的斜率为，根据图象找出最优解为(4，3)，从而目标函数的最大值为 6. 2. (2018·苏锡常镇调研一)已知 a>0, b>0，且＋＝，则 ab 的最小值是________．答案：2解析：因为＝＋≥2，所以 ab≥2，当且仅当＝＝时，取等号．3. (2018·启东调研测试)设 x，y 满足则 z＝x＋y 的最大值为________．答案：解析：线性规划的最优解为，故 z＝x＋y＝×＋＝.4. (2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知 a，b，c 均为正数，且 abc＝4(a＋b)，则 a＋b＋c 的最小值为________．答案：8解析：由 a，b，c 均为正数，abc＝4(a＋b)，得 c＝＋，代入得 a＋b＋c＝a＋b＋＋＝＋≥2＋2＝8，当且仅当 a＝b＝2 时，等号成立，所以 a＋b＋c 的最小值为 8., 一) 简单的线性规划问题, 1) 若 x，y 满足约束条件(1) 求目标函数 z＝x－y＋的最值；(2) 若目标函数 z＝ax＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求 a 的取值范围．解：(1) 作出可行域如图，可求得 A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．平移初始直线 x－y＋＝0，过 A(3，4)取最小值－2，过 C(1，0)取最大值 1，所以 z 的最大值为 1，最小值为－2.(2) 直线 ax＋2y＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，解得－4
